Ahora simplemente estoy buscando una explicación intuitiva de las acciones que integran más de un 4-elemento de volumen, $d^4x$ en lugar de un parámetro decir $\lambda$. Más específicamente, estoy bien versado en los principios de acción que decir que tienen una acción como $\int L d\lambda$. Pero en un intento de comprender acciones tales como el Einstein de Hilbert de acción, por ejemplo, que son una integral sobre un elemento de volumen, en la forma $\int(whatever)d^4x$. Yo no soy exactamente viendo desde una intuitiva postura de cómo estos están reunidos, y cómo/si se refieren a la extremization métodos estoy más familiarizado. Yo no entiendo la notación de la métrica, y de GR y todo eso, ese no es el problema. Yo no tengo ninguna experiencia de trabajo con acciones integrales sobre los volúmenes. Si alguien puede probar que me apunte en la dirección correcta aquí, o recomendar un buen texto, quizás, sería de gran ayuda.
Respuesta
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Vamos a comparar la mecánica clásica y GR para intentar llegar a la intuición de que usted está buscando.
La mecánica clásica.
Recordemos que en la mecánica clásica de un sistema de $N$ de las partículas, la configuración del sistema en cada punto en el tiempo es representado por un punto de $x\in\mathbb R^{3N}$. La configuración de colector $\mathcal Q$, es decir, el conjunto de configuraciones posibles, que en realidad es, generalmente, un submanifold de $\mathbb R^{3N}$ debido a que existen algunas limitaciones.
El objetivo de la mecánica clásica es predecir el movimiento del sistema en su configuración de colector para todas las épocas $t$ dada la configuración y la velocidad del sistema en algún momento inicial,$t_0$.
En otras palabras, el objetivo es determinar una curva de $x:[t_0, \infty)\to \mathcal Q$ que representa el movimiento del sistema, teniendo en cuenta los datos iniciales. En la mecánica clásica, esto se puede lograr a través de un principio de acción. Es decir, no existe un funcional $S$ que los mapas de curvas de $x:[t_a, t_b]\to\mathcal Q$ en el espacio de configuración de números reales tales que el movimiento del sistema se rige por las ecuaciones de movimiento que el resultado de exigir que los movimientos del sistema son puntos estacionarios de la acción que normalmente es una integral sobre un local de Lagrange; \begin{align} S[x] = \int_{t_a}^{t_b}dt\, L(t, x(t), \dot x(t)) \end{align} Otra forma de decir esto es que si $\mathcal C$ denota el conjunto de todos los admisible curvas en $\mathcal Q$, entonces la acción es un funcional $S:\mathcal C\to \mathbb R$ cuyos puntos estacionarios son movimientos físicos del sistema.
La relatividad General.
En la relatividad general, en lugar de querer resolver para que el movimiento de un sistema de partículas en un colector, a menudo se quiere resolver para la métrica del espacio-tiempo dado alguna otra información. Por ejemplo, tal vez usted sabe que usted está buscando una estática, la simetría esférica de espacio-tiempo. Se podría entonces considerar el conjunto de todos los admisible métricas, llame a $\mathcal G$, y uno podría preguntar
Cual de las métricas en $\mathcal G$ son físicos?
Aquí $\mathcal G$ es análoga a la del conjunto de todas las curvas de $\mathcal C$ en la mecánica clásica. Resulta que la respuesta a esta pregunta, al menos en el contexto de la gravedad de Einstein sin la materia y haciendo caso omiso de algunas sutilezas, es que la métrica debe ser un punto fijo de la acción de Einstein-Hilbert; \begin{align} S_\mathrm{EH}[g] = \int_M d^4x\sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|} R_g \end{align} donde $R_g$ es el escalar de Ricci para la métrica $g$, e $M$ es el espacio-tiempo del colector.
El principal inuition.
Para obtener la intuición para esto, recordemos que en el caso de la mecánica clásica, estábamos buscando una curva que es un punto fijo de $S:\mathcal C\to \mathbb R$, y las curvas son funciones del tiempo, por lo que la acción es una integral a lo largo del tiempo. En el caso de $GR$, podemos zona en busca de una métrica que es un punto fijo de $S_{\mathrm{EH}}:\mathcal G \to \mathbb R$, y las métricas son funciones del espacio-tiempo, por lo que la acción es una integral sobre el espacio-tiempo.
