Prueba de que si $a,b \in G$ y $a^4b = ba$ y $a^3 = e$ entonces $ab = ba$

Question

Intenté demostrar uno de los ejemplos de mi libro de Álgebra Abstracta que decía:

Demostrar que si $a,b \in G$ y $a^4b = ba$ y $a^3 = e$ entonces $ab = ba$

Me limité a decir que $a^4b = ba \iff a^3(ab) = ba \iff e(ab) = ba$ y el resultado es el siguiente.

Sin embargo, el libro toma un camino más largo y lo demuestra así:

$a^4b = ba \implies b = a^6b = a^2ba \implies ab = a^3ba = ba$

¿Son ambas pruebas válidas y equivalentes o me estoy perdiendo algo?

Gracias

Answer 1

Otra forma de evitar esta prueba: $$ab = aeb = aa^3b = a^4b = ba$$

Answer 2

Me parece que ambas pruebas están bien. La mía es muy parecida a la tuya:

$a^4b = ba \Rightarrow a^3b = a^{-1}ba; \tag{1}$

$a^3b = a^{-1}ba \; \text{and} \; a^3 = e \Rightarrow b = a^{-1}ba; \tag{2}$

$b = a^{-1}ba \Rightarrow ab = ba. \tag{3}$

¡¡¡QED!!!