En primer lugar, utilizamos la inducción matemática tienen las siguientes desigualdades
$$\sqrt{n}\le a_{n}\le\dfrac{n}{\sqrt{n-1}},n\ge 3$$
fácil demostrar esta función $$f(x)=\dfrac{x}{n}+\dfrac{n}{x} $% $ #%(0,n) de #%
porque % $ $ is decreasing on $
desde $$f'(x)=-\dfrac{n}{x^2}+\dfrac{1}{n}\le 0$, que $a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=2$ $ Assmue que % $ $$\sqrt{3}\le a_{3}\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
entonces $$\sqrt{n}\le a_{n}\le\dfrac{n}{\sqrt{n-1}},n\ge 3$ $ $$a_{n+1}=f(a_{n})\ge f(\dfrac{n}{\sqrt{n-1}}=\dfrac{n}{\sqrt{n-1}}>\sqrt{n+1}$ $
De hecho, podemos demostrar
$$a_{n+1}=f(a_{n})\le f(\sqrt{n})=\dfrac{n+1}{\sqrt{n}}$ $ desde $ de $$a_{n}\le \sqrt{n+1},n\ge 4$ % que $$a_{n+1}=f(a_{n})\ge f(\dfrac{n}{\sqrt{n-1}})=\dfrac{n}{\sqrt{n-1}},n\ge 3$$ y Nota $$a_{n}\ge\dfrac{n-1}{\sqrt{n-2}},n\ge4$ $
se suffces demostrar que $$a_{n+1}=f(a_{n})\le f\left(\dfrac{n-1}{\sqrt{n-2}}\right)=\dfrac{(n-1)^2+n^2(n-2)}{(n-1)n\sqrt{n-2}}$ $ $$\dfrac{(n-1)^2+n^2(n-2)}{(n-1)n\sqrt{n-2}}\le\sqrt{n+2},n\ge 4$$ $$\Longleftrightarrow n^3-n^2-2n+1<(n^2-n)\sqrt{n^2-4}$ $