Evaluar la integral $\int^{\infty}_{0} e^{-x}x^{100}dx$

Question

$$\int^{\infty}_{0} e^{-x}x^{100}dx$$

Estoy seguro de que es algo que aquí no puedo ver, otra cosa es integración por las piezas 100 veces.

Answer 1

Utilizar un truco que, si recuerdo mal, es debido a Feynman:

$\alpha > 0 $, Que $$I(\alpha) = \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} dx = \frac{1}{\alpha}$ $

Diferenciar en los tiempos de muestra integral $n$ (con respecto a da $\alpha$) %#% $ #% Dónde $$\int_{0}^{\infty} (-1)^nx^ne^{-\alpha x}dx = (-1)^n\frac{n!}{\alpha^n} $$ tomar $$\int_{0}^{\infty} x^ne^{-\alpha x}dx = \frac{n!}{\alpha^n}. $ y $n=100$, muestra que la integral buscada es igual a $\alpha = 1$.

Answer 2

Sugerencia Consideremos la integral $$I(n) := \int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx$$ (NB with a general exponent $n $ of $x $). Applying integration by parts with $u = x ^ n $, $ dv = e ^ {-x} dx$, da $$\int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx = \left. x^n e^{-x} \right\vert_0^{\infty} + n \int_0^{\infty} x^{n - 1} e^x .$ $ podemos demostrar que el primer término es cero (por ejemplo, con un argumento inductivo y regla de L'Hopital) y así $$\int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx = n \int_0^{\infty} x^{n - 1} e^x ,$ $ que podemos escribir sugestivamente como recurrencia relación $$I(n) = n I(n - 1).$ $

Por lo tanto, podemos evaluar la integral original, que por definición es $I(100)$, escribiendo $$I(100) = 100 \cdot I(99) = 100 \cdot 99 \cdot I(98) = \cdots.$$ On the other hand, it's easy to compute that $I(0) = 1$.

Answer 3

Observe que $\Gamma(t) = \int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-x}x^{t-1} \,\mathrm{d}x$ es la función gamma. Por lo tanto, $$ \int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-x}x^{100} \,\mathrm{d}x = \Gamma(101) = 100! $$

Answer 4

Esta es la función Gamma de $101$. De hecho por definición:

$$\Gamma[x] = \int_0^{+\infty} t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d}t$$

Y así

$$\int_0^{+\infty} t^{100}\ e^{-t}\ \text{d}t = \Gamma[101] = 100!$$

Sobre la integración

Esta integración puede realizarse de varias maneras. Por partes es seguramente la más intuitiva, aunque puede ser tedioso (aunque necesita sólo dos o tres pasajes que adivinar el comportamiento conjunto de la integración).

De lo contrario, podemos hacerlo con el truco de Feynman como se muestra debajo o encima.