Deje $G$ ser un conjunto no vacío con una operación asociativa y para cada una de las $a\in G$ existe sólo una $a'\in G$ tal que $aa'a=a$. Demostrar que $G$ es un grupo.
He intentado jugar con el hecho de que $aa'a=a$ y lo único que he encontrado es que el $(a')'=a$. Entonces traté de demostrar que para cada $a,b\in G$, $aa'=bb'$ (lo que significa que podemos escribir $e=aa'$ y, a continuación, $G$ tiene una identidad), pero no pude conseguir nada significativo.
La prueba de que $(a')'=a$ (bajo petición):
$aa'a=a$
$a'aa'a=a'a$ (multiplicar por $a'$ desde el lado izquierdo)
$a(a'aa')a=a(a')a$ (multiplicar por $a$ desde el lado derecho)
Sabemos que $a'$ es el único que satisface $aa'a=a$ y por eso $a'aa'=a'$ (whice significa que $(a')'=a$.
