suma de una binomio expresión que ' t empezar de 0

Question

Tengo la siguiente expresión:

$$ \sum_{k=9}^{17}\binom{17}{k} $ y necesito demostrar que es igual a: $$ 2 ^ {16} $$ ahora sé eso si 'k' fue a partir de cero y no de 9, así: $$ \sum_{k=0}^{17}\binom{17}{k} $ es esta identidad que dice que es igual a: $$ 2 ^ {17} $$, pero porque la suma se inicia de 9 no saben qué hacer... ¿puede ayudar por favor? Gracias

Answer 1

Para los números enteros $n, k$$0 \le k \le n$, los coeficientes binomiales satisfacer la "simetría" $$ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $$

De ello se sigue que $$ \sum_{k=0}^{8}\binom{17}{k} = \sum_{k=9}^{17}\binom{17}{17-k} = \sum_{k=9}^{17}\binom{17}{k} $$ y por lo tanto $$ \sum_{k=9}^{17}\binom{17}{k} = \frac 12 \sum_{k=0}^{17}\binom{17}{k} = \frac 12 \cdot (1+1)^{17} = 2^{16} \, . $$

Pero tenga en cuenta que este método funciona sólo en este simétrica caso de que hemos sumar la primera o la segunda mitad de los coeficientes binomiales en un fila del triángulo de Pascal para impares $n$ (o con una pequeña modificación incluso para $n$).

De acuerdo a Wikipedia, no hay ninguna cerrado fórmula para el caso general $\sum_{k=j}^n \binom nk$ a menos que se recurre a la función Hipergeométrica.

Answer 2

Tener en cuenta

$$\sum_{k=0}^{17}\binom{17}{k} -\sum_{k=0}^{8}\binom{17}{k}= 2^{17} - 2^{16}$$

$$ =2^{16}(2-1)= 2^{16}$$