Cómo encontrar el límite $\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=2}^{n}\dfrac{\ln{i^2}}{i^2}$

Question

encontrar la

$$\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\ln{2^2}}{2^2}+\dfrac{\ln{3^2}}{3^2}+\dfrac{\ln{4^2}}{4^2}+\cdots+\dfrac{\ln{n^2}}{n^2}\right)$$

Mi intento: $$\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\ln{2^2}}{2^2}+\dfrac{\ln{3^2}}{3^2}+\dfrac{\ln{4^2}}{4^2}+\cdots+\dfrac{\ln{n^2}}{n^2}\right)=2\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{\ln{n}}{n^2}$ $

y resolver este

$$\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\dfrac{\ln{n}}{n}=\ln{2}\left(C-\dfrac{\ln{2}}{2}\right)$$

donde $C$ es constante de Euler

Solución: Nota esta raíz de %#% $ de #% dejamos %#% $ #%

Answer 1

Con la función zeta de Riemann para la $x>1$ % $ $$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}$obtener, tomando el derivado % term-wise $$\zeta'(x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{n^x},$$ por lo que su suma es (el primer término se desvanece) $$2\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{\ln{n}}{n^2} = -2\zeta'(2) = 1.8750965\dots$ $