¿Es siempre existe un polinomio con un único punto cero?

Question

¿K es un campo que no es algebraicamente cerrada, entonces cómo demostrar que para cualquier m > 0, existe un polinomio con las variables m sobre K que poseen un único punto cero?

Answer 1

Como $K$ no es algebraicamente cerrado, existe $p\in K [X]$ con ninguna raíz en $K$ y $\deg p\ge1$. Que $f(X,Y)=Y^{\deg p}p\left(\frac XY\right)$, es decir, si dejamos que $\deg p=d$ y % $ $$p(X)=a_0+a_1X+\ldots +a_dX^d $#% $ #%

Entonces claramente $$ f(X,Y)=a_0Y^d+a_1XY^{d-1}+\ldots +a_dX^d. $. Si $f(0,0)=0$ y $v\ne 0$ y $f(u,v)=v^dp(\frac uv)\ne 0$ y $v=0, u\ne 0$. Así $f(u,v)=a_du^d\ne 0$. $f(u,v)=0\iff u=v=0$ Deja $m\ge 2$y recursivamente $f_2=f$. Luego sigue rápidamente por inducción que para $f_{m+1}(X_1,\ldots, X_{m+1}) = f(f_m(X_1,\ldots,X_m),X_{m+1})$ tenemos $u_1,\ldots ,u_m\in K$.

Answer 2

Tomar cualquier $\alpha \in \overline{K}\setminus K$ % que $m_\alpha$ser su polinomio mínimo y deje que $n$ ser su grado.

$m=2$, Que $f(X,Y) = Y^n m_\alpha (X/Y)$. $f(X,Y)\in K[X,Y]$ Y $f$ tiene solamente $(0,0)$ como una raíz en $K^2$.

$m=3$, Escriba $g(X,Y,Z) = f(f(X,Y),Z)$. Si $g(a,b,c)=0$ $a,b,c\in K$ y $c=0$ y $f(a,b)=0$, que $a=b=0$.

Y así sucesivamente.