$f \in L^1 ((0,1))$, disminuyendo el $(0,1)$ implica $x f(x)\rightarrow 0$ $x \rightarrow 0$

Question

Supongamos $f\in L^1((0,1),dm)$. Supongamos $f$ es también una disminución de la función en $(0,1)$. Demostrar que

$$\lim _\limits{x \to 0} xf(x) = 0.$$

Mi intento por llegar a una solución

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f$ es positivo, y sin límite cerca de cero; por lo tanto, podemos escribir

$$\infty >\int_0^1 f\,dm=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac 1n}f\,dm.$$

Entonces

$$ \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac 1n}f\,dm \rightarrow 0 \quad \text{as}\quad n\rightarrow \infty. $$

También desde $f$ está disminuyendo, tenemos

$$f \left(\frac{1}{n}\right)\left( \frac 1n - \frac{1}{n+1}\right) \leq \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac 1n}f\,dm \leq f \left(\frac{1}{n+1}\right)\left( \frac 1n - \frac{1}{n+1}\right).$$

Quiero decir

$$ \lim _\limits{x \to 0} xf(x) = \lim _\limits{n \to \infty} \frac 1n f \left( \frac 1n \right) = 0,$$

Pero eso no es exactamente lo que tengo en mi desigualdades.

Añadido como señala @Hetebrij a continuación,

Tenga en cuenta que al mostrar $\lim _\limits{n \to \infty} \frac1n f\left( \frac 1n \right) =0$ no ha mostrado $\lim_\limits{x\to 0}xf(x)=0$ menos que usted sepa (1) el límite existe o (2) $xf(x)$ está disminuyendo o aumentando.

Cualquier insinuación o sugerencia? Sería contradicción mejor para este problema?

ACTUALIZACIÓN de Otro intento:

Tomar cualquier $n>1$. Entonces

$$\frac {1}{2n}f \left(\frac 1n\right) = \left(\frac 1n-\frac {1}{2n}\right)f \left(\frac 1n\right) \leq \int_{[0,1]}f(x)\chi_{\left[\frac{1}{2n},\frac 1n\right]}(x)dx.$$

Ahora la secuencia de funciones

$$f(x)\chi_{\left[\frac{1}{2n},\frac 1n\right]}(x)$$ is dominated by the integrable function $f$, and converges to $\infty\cdot \chi_{\{0\}}$. Por lo tanto, por el Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada, tenemos

$$\int_{[0,1]}f(x)\chi_{\left[\frac{1}{2n},\frac 1n\right]}(x)dx \rightarrow 0.$$

Answer 1

Supongamos primero que $f\geq 0$ (la cual hizo sin mucha justificación). A continuación, $f (x)\geq f (x_0) $ $x\leq x_0$ y por lo tanto $$ \int_0^{x_0} f (x)\,dx \geq \int_0^{x_0} f (x_0)\,dx = x_0 f (x_0) \geq 0. $$ Pero (por ejemplo, utilizando dominado convergencia), se ve fácilmente que el lado izquierdo de la estimación converge a $0$. Esto da lugar a la reclamación.

En realidad, la prueba anterior sólo se utiliza para que $x_0>0$ lo suficientemente pequeño, tenemos $f (x_0)\geq 0$.

Por lo tanto, el restante caso es que hay arbitrariamente pequeño $x_0>0$$f (x_0)<0$. Por monotonía, este rendimientos $f (x)\leq 0$ todos los $x\in (0,1) $. Por lo tanto, $$ 0 \geq x \cdot f (x) \geq x \cdot f (1/2) \a 0 $$ como $x \to 0$. Por tanto, el reclamo también se cumple en este caso.