¿Qué es una muestra de una variable aleatoria?

Question

Variable aleatoria $X$ se define como una función medible de una $\sigma$-álgebra $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ con la medida subyacente $P$ otro $\sigma$-álgebra $(\Omega_2, \mathcal F_2)$.

¿Cómo podemos hablar de una muestra $X^n$ de esta variable aleatoria? Hacer lo consideramos como un elemento de $\Omega_2$? O como el mismo medibles función como $X$?

Donde puedo leer más acerca de esto?

Ejemplo:

En Monte Carlo estimación, podemos demostrar la unbiasedness del estimador, considerando las muestras de $(X^n)_{n = 1}^N$ a las funciones. Si la expectativa de una variable aleatoria $X$ se define como

\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}

y suponiendo que $X^n$ son funciones y $X^n = X$, podemos proceder de la siguiente manera:

\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}

Si $X^n$ fue sólo un elemento de $\Omega_2$, no podríamos haber escrito el último conjunto de ecuaciones.

Answer 1

Un ejemplo de $(X^1,\ldots,X^N)$ es una función medible de$\Omega_1$$\Omega_2^N$. Una realización de esta muestra es el valor que toma la función en $\omega\in\Omega_1$, $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$.

suponiendo que $X^n$ son funciones y $X^n=X$

Las funciones de $X^n$ son todos diferentes funciones, lo que significa que las imágenes $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ pueden ser diferentes para un determinado $\omega$. Cuando la muestra es iid (independientes e idénticamente distribuidas), las funciones de $X^n$ son diferentes, con otras dos propiedades

1. idéntica distribución, lo que significa que $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ para todos los conjuntos medibles $A$$\mathcal{F}_2$;
2. la independencia, lo que significa que $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ para todos los conjuntos medibles $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

Su definición

\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}

es incorrecto: debería ser

\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}

Answer 2

La muestra se puede extraer de la población, no de la variable aleatoria. "Muestra de $n$ variables aleatorias" es una forma simplificada de decir que tenemos una muestra tomada de la población, que suponemos ser $n$ idénticamente distribuidas variables aleatorias. Por lo que dicha muestra se comporta como $n$ variables aleatorias. Es ambiguo porque se mezcla la terminología utilizada en probabilidad y estadística. La misma con la simulación, donde las muestras se toman del común de distribución. En ambos casos la muestra es el de los datos que usted tiene. Las muestras son consideradas como variables aleatorias debido a que los procesos aleatorios de conducir a la elaboración de ellos. Son idénticamente distribuidas, ya que provienen de distribución habitual. Para tratar con muestras tenemos estadísticas, mientras que las estadísticas de uso resumen, la descripción matemática de los problemas en términos de la teoría de la probabilidad, por lo que la terminología es mixto. Las variables aleatorias son funciones de la asignación de probabilidades a los eventos que pueden ser encontradas en las muestras.