Se trata de una pregunta sobre un resultado de los Principia de Newton . Dice, a grandes rasgos, que si se cruzan líneas $ax + by + c$ con una curva suave, cerrada y convexa, entonces el área de la curva que corta la recta no puede expresarse como una función algebraica de $a, b$ y $c$ .
Mi pregunta se refiere a la prueba de Newton. Hay un par de versiones por ahí, pero voy a resumir la de Wikipedia.
Fijar un punto $P$ dentro de la curva, y fijar una línea $L$ a través de $P$ . Construye una espiral, $f$ de la siguiente manera: trace otra línea $M$ a través de $P$ y que $\theta$ sea el ángulo que forma con $L$ . Así $L$ y $M$ cerrar un sector de la curva, con alguna zona $A(\theta)$ . Si trazamos $(A(\theta), \theta)$ en coordenadas polares, obtenemos una espiral. Newton observa que esta espiral interseca cualquier línea que pase por $P$ infinitas veces. Por lo tanto, la espiral no puede ser algebraica, porque si lo fuera entonces habría infinitas soluciones a un polinomio.
Bien. Estoy de acuerdo con el argumento de Newton de que la espiral no puede ser algebraica, pero ¿cómo implica esto la afirmación original? Más concretamente, la prueba sólo tiene éxito porque permitimos que la espiral continúe infinitamente. Pero ¿por qué no podemos hacer una función periódica $B(\theta)$ tal que $B$ expresa el área del sector con ángulo $\theta$ para $\theta \in [0, 2\pi]$ ?
