Suavidad de $f(\sqrt{x})$

Question

Cómo probar que si una función $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ es de la clase de $C^{2n}$ e incluso entonces existe una función $g\colon\mathbb R \to\mathbb R$ de la clase de $C^n$ tal que $f(x)=g(x^2)$.

Es evidente, mediante el uso de serie de potencias en un barrio simétrico de cero, que lleva a cabo si $f$ es analítica e incluso. Pero, ¿cómo demostrar que en general?

Richard

Answer 1

Taylor expandir $f(x) = P_{2n}(x) + R_{2n}(x)$ $x = 0$ donde $P_{2n}(x)$ es de grado $2n$ $R_{2n}(x)$ es el resto. Debido a $f(x)$ es par, impar derivados de $f(x)$ $x = 0$ son cero y, por tanto, $P_{2n}(x)$ sólo contiene potencias de $x$ y por lo tanto puede ser escrito como $g_1(x^2)$ para algunos polinomio $g_1$.

Como para $R_{2n}(x)$, ya que es la diferencia de $f(x) - P_{2n}(x)$ de dos funciones es incluso así. Por lo tanto uno puede escribir $R_{2n}(x) = g_2(x^2)$ algunos $g_2$. La clave es mostrar que $g_2(x)$ se $C^n$. En ${\mathbb R} - \{0\}$ es en realidad $C^{2n}; g_2(x^2) = f(x) - P_{2n}(x)$ es la diferencia de dos $C^{2n}$ funciones y esto es conservada por el cambio de las variables de $x \rightarrow \sqrt{x}$ o $x \rightarrow -\sqrt{x}$.

Por lo tanto, debemos considerar la $x = 0$ solamente. Desde $R_{2n}(x)$ el resto del plazo de la expansión de Taylor, satisface $|R_{2n}(x)| = o(|x|^{2n})$$|x| \rightarrow 0$. Así $g_2(x) = R_{2n}(\sqrt{|x|})$ satisface $g_2(x) = o(|x|^n)$$|x| \rightarrow 0$, y $g_2(x) = 0$. De forma similar, utilizando las propiedades correspondientes de los derivados de la $R_{2n}(x)$ uno puede inductivamente mostrar que para cualquier $k \leq n$, $g_2^{(k)}(x) = o(|x|^{n-k})$ como $|x| \rightarrow 0$. Así que tomando sucesivas diferencia de cocientes en la definición de la derivada muestra que $g_2^k(0)$ existe y es igual a cero para todos los $k \leq n$.

Así que podemos concluir de $g_2(x)$ $C^n$ función. Por lo tanto,$g(x) = g_1(x) + g_2(x)$$C^n$.