Una función tal que $f'(x)>0$ pero no estrictamente monótona creciente.

Question

Esto es Ejercicio 10.3.5 de Análisis Vol.1 por Terence Tao .

Dé un ejemplo de un subconjunto $X \subset \mathbb{R}$ y una función $f: X \to \mathbb{R}$ que es diferenciable en $X$ es tal que $f'(x)>0$ para todos $x \in X$ pero $f$ no es estrictamente monótona creciente.

Gracias.

Answer 1

Una pista: Si $X$ está conectado (es decir, un intervalo) y $f'(x) > 0$ para todos $x \in X$ entonces $f$ es estrictamente monótona creciente.

Answer 2

Dado que Terence Tao es un gran matemático, debemos tener cierto cuidado al realizar este ejercicio. Todo el mundo sabe que una función con derivada positiva en un intervalo es creciente. Sin embargo, Tao está pidiendo tanto un conjunto como una función.

El ejemplo más sencillo es $X=(0,1) \cup (2,3)$ y $$ f(x)=x \quad\text{for $ x en (0,1) $}, f(x)=x-100 \quad\text{for $ x \N en (2,3) $}. $$ Esta función tiene $f'>0$ en $X$ pero sin embargo no es estrictamente creciente en $X$ .