Que $f$ satisfacer la ecuación de $\,\,f(x)\,f(y)-f(x+y)=\sin x\,\sin y\,$?

Question

Encontrar todas las funciones continuas $f$ que satisface la ecuación funcional $$ f(x)\,f(y)-f(x+y)=\sin x\,\pecado y, $$ para todos los $x,y\in\mathbb R$.

Puedo demostrar que $f(n\pi)=\cos\left(n\pi\right)$ todos los $n\in\mathbb Z$.

El primer intento. He tratado de probar que: $$ f\left(\frac{\pi}n\right)=\cos\left(\frac{\pi}n\right)\quad \text{para todo}\,\,\, n\in\mathbb Z\smallsetminus\{0\} \etiqueta{1}, $$ pero he fracasado.

Si puedo demostrar $(1)$, entonces el funcional de la ecuación será resuelto por completo el uso de la continuidad de $f$.

Entonces, ¿cómo podemos resolver esta ecuación funcional?

Answer 1

Establecimiento $x=y=0$, obtenemos que $\,\,f(0)f(0)-f(0)=0$, y por lo tanto $\,\,f(0)=0$ o $1$.

Si $f(0)=0$, a continuación, configuración de $y=0$, obtenemos $-f(x)=0$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto,$f(0)=1$.

Set $y=-x$, y obtener $$ f(x)f(-x)=1-\sin^2 x=\cos^2x. $$ Dejando por encima de $x=\pi/2$ tenemos que $f(\pi/2)=0$ o $f(-\pi/2)=0$, mientras que los $y=\pi/2$ o $-\pi/2$ en la relación original obtenemos, respectivamente: $$ -f(x+\pi/2)=\sin x, $$ o $$ -f(x-\pi/2)=-\sin x, $$ que en ambos casos implica que $$ f(x)=\sin(x+\pi/2)=\cos x. $$

Nota. La continuidad de la función $f$ no se ha utilizado en la prueba.

Answer 2

Si desea una forma mucho más torpe solución que utiliza continuidad: en primer lugar demostrar que la función es periódica (fácil, con crecimiento en el infinito). Entonces, una función periódica puede ser ampliado (de forma exclusiva) en una serie de Fourier, de la cual el resultado de la siguiente manera por la equiparación de los lados izquierdo y derecho.