Problemas para entender los números complejos generalizados

Question

Estoy leyendo un artículo sobre los números complejos generalizados, pero tengo problemas en algunas de sus propiedades fundamentales. He buscado en wiki pero no me ha dejado nada claro. Por favor, vea la imagen de abajo, en la que he subrayado los "números duales" con rojo porque es donde me siento especialmente confundido.

Mis problemas son:
1).La definición de la unidad imaginaria $i$ como $i^2=iq+p$ no me hace sentir cómodo. Porque creo que es una recursividad. ¿Hay alguna otra forma de definir $i$ de forma equivalente pero sin recursividad?
2).Por qué todos los "números duales" están situados en la parábola: $p+\frac14q^2=0$ ? Cómo demostrar que es equivalente a la definición " $i^2=0$ "? He intentado derivarlo pero no he llegado a nada. No creo que deba ser muy difícil pero no consigo hacerlo.

¿Alguien podría darme alguna explicación o pista que no esté fuera de mi límite? (Soy de primer año y hasta ahora he aprendido un poco de cálculo elemental y álgebra lineal) ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Creo que el artículo que citas utiliza un lenguaje ligeramente caricaturesco para parecer más interesante. En particular, cuando parece enmarcar su pregunta como "¿cuáles son otras definiciones de $i$ ?", sería más honesto decir

¿Cuáles son las formas de definir un multiplicación operación en $\mathbb R^2$ que es compatible con el vector normal adición de manera que haya un subespacio de $\mathbb R^2$ que se comporta como $\mathbb R$ con sus operaciones habituales?

Eso no es tan inmediatamente llamativo, por supuesto. Y seguiría estando implícito que quieren que el resultado, en particular, sea un anillo conmutativo . (O mejor aún un unital conmutativo $\mathbb R$ -Álgebra Pero probablemente no sepas qué es eso, así que ignóralo).

Una vez que se ha decidido responder a esto, un primer paso natural es elegir un sistema de coordenadas tal que el subespacio que se comporta como $\mathbb R$ es el $x$ -eje y $x\in\mathbb R$ corresponde a $(x,0)\in\mathbb R^2$ . Esto fija cómo se va a comportar nuestra multiplicación en pares de esta forma, y si también queremos que la multiplicación con el subconjunto "real" se corresponda con la multiplicación escalar de vectores, nos vemos obligados a definir $$ (x,0)\cdot(a,b)=(a,b)\cdot(x,0)=(ax,bx) $$

Ahora resulta que lo único que nos queda por elegir es qué $(0,1)\cdot(0,1)$ será. Una vez que hayamos elegido $(0,1)\cdot(0,1)=(p,q)$ La ley asociativa y distributiva obliga a que el producto de dos pares arbitrarios sea $$ (a,b)\cdot(c,d) = (ac+bdp, bdq+ad+bc) $$

El números complejos resultado cuando elegimos $(p,q)=(-1,0)$ y en ese caso llamamos al par $(0,1)$ $i$ . Los autores de su artículo extienden esa denominación a los sistemas en los que $(p,q)\ne (-1,0)$ Lo cual es confuso y no estándar si me preguntas, pero ahí lo tienes.

Sigue siendo el caso, como para los números complejos que $$ (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)\cdot(0,1) = a+bi $$ para todos $a$ y $b$ pero la regla para multiplicar cosas difiere de la de los números complejos.

Cuando los autores dicen $i^2=p+qi$ , eso es simplemente su notación para especificar $(0,1)\cdot(0,1)=(p,q)$ .

El sentido de la afirmación de la Figura 1 es que sólo hay tres opciones fundamentalmente diferentes para $(p,q)$ , a saber $(-1,0)$ (los números complejos), $(0,0)$ (números duales), o $(1,0)$ (números dobles). Para cualquier otros elección de $(p,q)$ el sistema numérico resultante resulta ser isomorfo a uno de estos tres casos -- o en otras palabras, es lo mismo como uno de estos tres casos, sólo que visto a través de un sistema de coordenadas diferente (que según la convención de los autores significa que es un diferentes miembro del anillo que se llama $i$ ).

(Es una característica particularmente confusa que la Figura 1 muestre el $p$ eje en marcha arriba cuando $p$ es el real parte de " $i^2$ ", que debería ir a la derecha en los diagramas habituales del plano complejo. En realidad, la figura debería ser volteada alrededor de la diagonal $p=q$ ).

Answer 2

1) La ecuación $i^2=iq+p$ no es una definición recursiva. Se define como una solución de una ecuación cuadrática. Es como nuestra definición normal $i^2=-1$ . En esta definición se puede resolver $i$ para obtener las dos soluciones, al igual que cuando se "resuelve" $i^2=-1$ se obtiene nuestra definición ordinaria de $i$ .

2) Es decir, cuando se resuelve $i^2=iq+p$ es decir, $i^2-qi-p=0$ se obtiene una raíz repetida cuando el discriminante es $0$ . Es como el caso $i^2=0$ donde se tiene una raíz repetida $0$ .

Answer 3

Creo que los sistemas de números complejos generalizados pueden definirse simplemente como anillos de la forma $\mathbb R[X]/(f(X))$ con $f(X)$ un polinomio cuadrático real y $i$ es una notación de $\overline X$ . Para conocer el significado de estos símbolos puede consultar wiki .