Si $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(a^2+b^2,a+2ab)=1$ o $5$

Question

La pregunta es ya en el título.

Demostrar eso si $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(a^2+b^2,a+2ab)=1$ o $5$.

Ayer vi este ejercicio en un libro y he intentado muchas cosas pero me las arreglé para mostrar solo que si algunos % primer $p$($p$ debe $\equiv1\pmod{4}$) divide $a^2+b^2$ y $a+2ab$ y $p\mid2b+1$, $p\mid4a^2+1$ y $p\mid b-2a^2$ pero todo parece inútil.
¿Siento que falta algo obvio aquí?

Answer 1

Esto es falso. Un contraejemplo es $a=2, b=25$ $$\gcd(a^2+b^2, a+2ab)=\gcd(629, 102)=17$ $ otros contra pequeños ejemplos son los pares: $(4,19), (9,19), (15,8), (17,6), (17,19), (19,8).$

Edición: Jugando con mi código, numéricamente verificado $1 \le a,b \le 10000$ la declaración ligeramente cambiada: si $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(a^2+b^2,a+2b)=1$ o $5$.

Answer 2

¿No es a = 9, b = 19 un ejemplo contrario?

Answer 3

Supongamos que $gcd(a,b)=1$ y que $d=gcd(a^2+b^2,a+2b)$

la identidad

$(a^2+b^2)+(a+2b)(2b-a)=5b^2$

muestra divide a que $d$ $5b^2$ y

desde $5a^2=5(a^2+b^2)-5b^2$ $d$ divide $5a^2$

desde $a$ y $b$ son relativamente privilegiadas, divide a $d$ $5$