Expresar la afirmación "El n es primo "como afirmación "para todos".

Question

¿Qué se da?

Hay un enunciado "El n es primo", que tenemos que expresar con $\forall$ cuantificador. Yo lo resolví de una manera y el profesor (porque un enunciado puede expresarse no sólo con una fórmula) de otra.

La fórmula del profesor: $(\forall q \in \mathbb{N})(\forall p \in \mathbb{N})[(n=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1)]$ (0)

¿Cuál es el problema?

Creo que la solución del profesor no es correcta, porque su fórmula (0) no expresa la afirmación "La n es primordial" .

Explicando, por qué no es correcto.

1. Sea p = 3 y q = 5. $3 \in N$ es cierto, $5 \in N$ es cierto.
2. Entonces n = pq = 3*5 = 15. Es cierto.
3. n = pq es la parte izquierda de la expresión $(n=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1)$ (1)
4. $p \neq 1, q \neq 1$ entonces $(p=1 \lor q=1)$ (2) es falso.
5. Así, para la expresión (1) tenemos $True \rightarrow False$ Es decir $False$ .
6. Por lo tanto (1) no es Verdadero para todo q y p.
7. Por lo tanto, la fórmula (0) es falsa.
8. Entonces, leamos la fórmula (0), sabiendo que es falsa: No para todo natural q y p cierto, que, si q*p nos da algún n, entonces o q o p es igual a 1.

9. Así:

   • Para algún n su q y p no son iguales a uno, entonces sabemos que n consta de dos números, entonces es compuesto.
   • Para otro n tanto q como p pueden ser 1, entonces no sabemos si n es primo o compuesto, porque otro número (q o p) puede ser compuesto o primo.
10. Así, (0) no nos dice nada sobre la naturaleza de n (primo o compuesto).

Mi pregunta es:

¿Qué opinas, es (0) estado expreso El n es primo? Si es así, ¿en qué parte de mi razonamiento me equivoco?

¿Es una tarea?

No, esto es parte de una tarea del curso MOOC. Ya lo resolví a mi manera, el profesor ya lo resolvió. El problema es que no puedo aceptar que su solución es correcta.

Nuevos detalles de la tarea. Respuesta a la respuesta de PJTraill.

En primer lugar Gracias, estoy totalmente de acuerdo con tu conclusión sobre "Tu "nos da algo de n" me hace sentir...". En este caso (0) realmente no tendría ningún error y me parecería inequívoco. PERO! Durante los últimos 4 días he estado mirando las conferencias una y otra vez y encontré más detalles sobre la tarea en sí y cómo se construyó (0) en particular. Intentaré explicarlo a continuación.

1) (0) era el resultado de la negación de la fórmula de otra tarea que expresaba la afirmación "El número natural n no es primo".

2) Esa tarea anterior trataba de expresar con cuantificador de existencia, así que como resultado para "El número natural n no es primo" teníamos:

$(\exists p \in N)(\exists q \in N)$ ( p>1 $\land$ q>1 $\land$ n=pq) ( 3 )

Eso, si lo leo bien por supuesto, es:

"Hay tales naturales q y p, que ambos mayores que 1 y al multiplicar nos dan el producto n".

^Sobre el producto n - es como lo leía el profesor.

3) Antes de empezar con el problema, este tema es sobre ,el profesor dijo, que "El n es primo" es una negación de la anterior "El n no es primo", por lo que podemos simplemente negar (3) y obtener la fórmula adecuada para "El n es primo", que es (0).

4) Entonces, lo he comprobado y (0) es realmente una negación de (3).

5) Pero, el cuantificador de negación de existencia es un cuantificador universal, por lo que "Hay tales q y p, que", por lo que (0) se convirtió en "Para todos los naturales q y p no es que..." .

6) Así, donde el primer caso era, según su fórmula, "Hay n que no es primo", el segundo, por negación, se convirtió en "No hay n que sea primo". Es decir, según n es un producto para todo natural q y p, no es cierto. Porque sabemos que hay primos naturales.

7) Pero no es el caso. El caso es si (0) expresa la afirmación "El n es primo" o no? Bueno, podemos decir que sí, porque si no hay n, que no es primo, entonces todo n es primo. A pesar de que sabemos que no es cierto, sin embargo.

8) Así, la fórmula falsa expresa una afirmación falsa o la fórmula verdadera expresa una afirmación verdadera (si se asume "no racionalmente", que la primera afirmación era falsa) . Estamos bien con ambos casos, porque la tarea no es sobre la verdad.

¡Pero! La siguiente será sobre por qué no estoy de acuerdo con que (0) exprese su declaración.

1) Aunque (3) es suficiente para decir "El n no es primo", no habla de los primos, que tienen factores q y p, que no son ambos mayores que 1, pero uno es igual a 1 y el segundo es compuesto, por lo que n=qp = (compuesto*1) o (1*compuesto).

2) Por lo tanto, su negación es hablar "No hay números compuestos, que tienen dos factores q y p ambos mayores que uno", pero no hablar de compuestos de "mi tipo" que son compuestos*1.

3) Y, como he dicho antes, en este caso (0) tendrá un valor opuesto al de su declaración. El enunciado "No hay compuestos" es falso, si (0) nos da valor verdadero con {q;p} {compuesto;1}.

Resultado.

Estoy absolutamente de acuerdo con usted, que si había un caso n, entonces no hay ambigüedad, el maestro (0) expresar su declaración. Sin embargo, los datos, que he encontrado y presentado a usted por encima (cómo se construyó 0) habla, que debemos leer la fórmula, como leemos todas las fórmulas: "Para todo q y p, si nos dan el producto n, entonces o q o p es igual a 1". En este caso no expresa la afirmación "El n es primo", porque, de nuevo, según los datos (0) es una negación de (3), es decir "Hay n que tiene dos factores mayores que 1" . Así que (0) tiene una forma de "No hay n, que tiene dos factores mayores que 1", que es necesario, pero no suficiente para decir "El n es primo", porque hay "no primos", que tienen sólo un factor mayor que uno.

Por supuesto, puede ser, que no entiendo en absoluto la naturaleza de las variables libres, pero aún no hemos aprendido ni oído hablar de ellas, así que no creo que sea el caso.

Answer 1

La fórmula de tu profesor es correcta excepto cuando $n=1$ que dice que es primo (véase la sección final); por coherencia con su terminología, en esta respuesta utilizaré "primo" para referirme a "no compuesto". Su problema parece ser que no se da cuenta de que $n$ es una "variable libre" en la fórmula (0), que deberíamos llamar $P(n)$ para enfatizar que dice algo sobre $n$ , algún natural cuya primalidad nos interesa.

Una variable libre (en una fórmula dada) es aquella que no es una "variable ligada", donde una variable ligada es aquella introducida por un cuantificador, de la manera que $p$ y $q$ son. Una variable libre se refiere a algo fuera de la fórmula, mientras que una variable ligada no se refiere a nada fuera de la fórmula: sustituir $q$ por $r$ no afectaría al significado de $P(n)$ .

Donde se escribe " No para todos los naturales $q$ y $p$ cierto, que, si $q*p$ nos da algunos $n$ Entonces, o bien $q$ o $p$ es igual a $1$ . " sería más preciso decir " si $qp$ nos da el particular $n$ estamos interesados en , ". Es decir, en su ejemplo sólo nos interesa el caso $P(15)$ es decir, su (0) con $n$ sustituido por $15$ como ha observado correctamente, $P(15)$ es falso, por lo que $15$ no es primo. Si lo pruebas, deberías encontrar que $P(5)$ es Es cierto.

Su " nos da algunos $n$ " me hace pensar que puede estar pensando en (0) como: $$ (\forall q \in \mathbb N)(\forall p \in \mathbb N)(\exists n \in \mathbb N)[(n=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1)] $$ es decir, "todo producto de los naturales es $1$ o primo" (o incluso "dados dos naturales, uno es $1$ "), que por supuesto es falso. Si lo reordena como $$ (\exists n \in \mathbb N)(\forall q \in \mathbb N)(\forall p \in \mathbb N)[(n=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1)] $$ dice "algo natural es $1$ o primo", lo cual es trivialmente cierto. Ambas fórmulas tienen $n$ como encuadernado variable, es decir, no son afirmaciones sobre una $n$ pero sobre $\mathbb N$ en su conjunto.

En el paso (9) se escribe (con " complejo " sustituido por " compuesto "):

- Para algunos $n$ su $q$ y $p$ no son iguales a uno, entonces sabemos que $n$ consiste en dos números, entonces es compuesto.
- Por otra parte $n$ o bien $q$ o $p$ puede ser $1$ entonces no sabemos si n es primo o compuesto, porque otro número ( $q$ o $p$ ) puede ser compuesto o primo.

La primera parte es más o menos correcta, aunque " su $p$ y $q$ " es un poco impar, ya que $p$ y $q$ no están determinadas por $n$ pero son sólo algunos naturales que pueden necesitar ser revisados para ver si $n$ es primo. La segunda parte es errónea: tienes razón en que el caso en que $p$ o $q$ es $1$ no resuelve (por sí sola) la primalidad de $n$ pero si todo tal $p$ y $q$ satisfacer $ (n=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1) $ que hace que $P(n)$ verdadero - eso es lo que los cuantificadores universales en $P(n)$ ¡malo!

El caso $n=1$

Como se ha señalado la respuesta en la respuesta de Dan Brumleve La expresión de su profesor se rompe cuando $n=1$ Aunque esto no parece tener nada que ver con sus problemas de comprensión.

Su expresión $P(1)$ dice $$ (\forall q \in \mathbb N)(\forall p \in \mathbb N)[(1=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1)] $$ lo cual es cierto: cuando el producto de dos naturales es $1$ entonces uno de ellos es $1$ - de hecho, ¡ambos lo son! Pero la definición convencional de un primo es que no debe ser una "unidad", es decir, no debe tener una inversa multiplicativa en $\mathbb N$ . Podemos arreglar esto definiendo " $n$ es primo" como $n\neq 1 \land P(n)$ . Esto es útil, ya que los primos son entonces el conjunto más pequeño de naturales que generan $\mathbb N$ por multiplicación. Para $\mathbb Z$ no existe un conjunto único de generadores, sino que los conjuntos son único hasta multiplicar cada elemento por una de las unidades $\{1,-1\}$ .

Igualmente, su expresión para " $1$ no es primo" se convierte en $$ (\exists q \in \mathbb N)(\exists p \in \mathbb N)(p > 1 \land q > 1 \land 1=pq) $$ que es falso, lo que significa de nuevo que $1$ es de primera.

Answer 2

La fórmula del profesor

$(\forall q \in \mathbb{N})(\forall p \in \mathbb{N})[(n=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1)]$

no es una definición correcta de " $n$ es primordial" porque afirma que $1$ es primo, es decir, la fórmula

$(\forall q \in \mathbb{N})(\forall p \in \mathbb{N})[(1=pq) \Rightarrow (p=1 \lor q=1)]$

es cierto. Hay un sentido en el que $1$ no ser primo es sólo una convención arbitraria, pero por lo que sé se mantiene universalmente, como $0$ no ser llamado positivo.