¿Cálculo de pecado y lechuga romana basada en la combinación de potencia y serie de energía?

Question

Serie de Taylor para $\sin(x)$ $\cos(x)$ $0$ son bien conocidos y habitualmente ejerce en principiantes cursos de análisis matemático. Sin embargo, como sabemos serie de Taylor están muy localizados y, en última instancia, el ajuste de un punto y una serie de los límites de lo que un punto (diferenciales de enteros postales):

$$\begin{align}\sin(x) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} \\\cos(x) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\end{align}$$

También tenemos la rotación de las matrices, que proporcionan una forma para calcular el ángulo de doblar por la matriz de competencias:

$$R_\phi = \left[\begin{array}{rr}\cos(\phi)&\sin(\phi)\\-\sin(\phi)&\cos(\phi)\end{array}\right] \hspace{0.5cm} R_{2\phi} = {R_{\phi}}^2 = \left[\begin{array}{rr}\cos(2\phi)&\sin(2\phi)\\-\sin(2\phi)&\cos(2\phi)\end{array}\right] ... et.c.$$

Hay algo para ser adquirida en la combinación de estos? Ya sea en la velocidad de cálculo o la precisión del resultado.

Puede que sea derivar o encontrar un enfoque sistemático para estimar los intervalos de $a \subset \mathbb R$ donde los polinomios de Taylor debe ser evaluado y $b \subset \mathbb R$ donde hacia atrás doblando debe hacer para lograr eso?

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Intento de aclarar:

Podemos por algún método para encontrar una expansión de Taylor $T_p(x)$ orden $p$ y un entero $k$ los dos intervalos en $\mathbb R$:

1. $\mathcal S_1 = \left[0,\frac \pi {2^k}\right[$,
2. $\mathcal S_2 = \left[\frac \pi {2^k}, \frac \pi 2 \right]$

De modo que el número de multiplicaciones requeridas en total se minimiza por el siguiente procedimiento recursivo:

1. Hasta estimación se calcula:
2. Si $x_n \in \mathcal S_2$ realizar un mirar hacia atrás en $x_{n+1} = \frac {x_n} 2$ con la ayuda de la matriz de la relación anterior.
3. Si $x_n \in \mathcal S_1$ calcular el valor del polinomio de Taylor de orden $p$. Y para que $|\sin(x) - T_p(x)| \leq 2^{-54} \forall x \in \mathcal S_1$ es decir, la precisión es seguro que será suficiente para la mantisa de un doble precisión flotar en lo que establece que será el cálculo de la estimación.

Answer 1

Computación $(\pi/2)^{22} / 22!,$ $(\pi/4)^{18}/18!,$ y $(\pi/8)^{14}/14!$ muestra que reducir a la mitad el intervalo de longitud permite cortando sólo dos términos del polinomio de Taylor; computing $(\pi/16)^{12}/12!$ muestra que un adicional de reducir a la mitad de la longitud del intervalo de sólo permite cortando un término adicional de la polinomio de Taylor. Esto significa reducir a la mitad el intervalo sólo se puede eliminar en la mayoría de los dos multiplicaciones.

El doble ángulo fórmula para $\cos(2x)$ $\sin(x)$ $\cos(x)$ requiere de dos multiplicaciones, más el cálculo de ambos $\sin(x)$$\cos(x)$; el doble ángulo fórmula para $\sin(2x)$ requiere una multiplicación y el cómputo de ambos $\sin(x)$$\cos(x)$.

Así que si usted necesita para calcular $\sin(x)$$\cos(x)$, al mismo tiempo, podría reducir el número total de multiplicaciones por una si compute $\sin(x/2)$ $\cos(x/2)$ y, a continuación, calcular $\sin(x) = \sin(x/2)\cos(x/2) + \sin(x/2)\cos(x/2)$ $\cos(x)=\cos(x/2)^2 - \sin(x/2)^2.$ Por otro lado, si sólo se necesita calcular uno de $\cos(x)$ o $\sin(x),$ va a ser mucho más caro para calcular $\sin(x/2)$ y $\cos(x/2)$ y el uso de la doble ángulo fórmula que sería para calcular $\cos(x)$ o $\sin(x)$ directamente desde el polinomio de Taylor.