Números más pequeño posible rango de una matriz de $n×n$ con ceros por la real estrictamente positivo y diagonal principal fuera de la diagonal principal

Question

Un problema en IMC 2012 en el que estoy interesado pero no tengo ninguna respuesta. ¿Me puedes ayudar? Muchas gracias.

Problema: Que $n$ ser un entero positivo fijo. Determinar el grado posible más pequeño de una matriz de $n\times n$ con ceros a lo largo de los números verdaderos principal diagonal y estrictamente positivos fuera de la diagonal principal.

Answer 1

El problema ha sido resuelto en el sitio web de Arte de resolución de problemas. El rango mínimo es $2$ por dos veces dos matrices y $3$ $n\geq 3$. Se da una matriz de rango mínimo: sus entradas son $a_{i,j}:=(i-j)^2$.

Answer 2

Esto no es una respuesta, sólo un ejemplo, pero no hay tal matriz fila $<n$ $n<4$. $n=4$, Tiene una matriz simple de la fila 3:

$$ \left(\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)$$

Así que un límite superior es $\lceil\frac{3n}{4}\rceil$... e incluso $1+\lceil\frac{n}{2}\rceil$ (Joriki)