¿Qué significa la frase "este operador no renormalize este otro operador" y cómo se puede entender con argumentos diagramáticas?

Question

Estoy tratando de entender algunas frases en un papel. En la sección dos, el siguiente teoría de un (complejo) escalares sin masa acoplado a una $U(1)$ bosón de gauge es introducido $$\cal{L}_4=-|D_{\mu}\phi|^2-\lambda_{\phi}|\phi|^4-\frac{1}{4g^2}F_{\mu\nu}^2\qquad{}\cal{L}_6=\frac{1}{\Lambda^2}[c_rO_r+c_6O_6+c_{FF}O_{FF}]$$ donde $\Lambda$ es una escala de la energía suppresing la dimensión 6 operadores y $$\cal{O}_r=|\phi|^2|D_{\mu}\phi|^2\qquad{}O_6=|\phi|^6\qquad{}O_{FF}=|\phi|^2F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ Lo que quiero entender es lo que se quiere decir en el último párrafo de la misma página

"Muchos de los de un bucle no renormalization resultados de los que hablamos pueden ser entendidos a partir de argumentos basados en la estructura de Lorentz de los vértices involucrados. Tomemos por ejemplo la no-renormalization de $\cal{O}_{FF}$$\cal{O}_R$."

mi primera pregunta es, ¿qué se entiende exactamente cuando dicen que un operador no renormalize el otro? ( De alguna manera yo sospecho que esto tiene algo que ver con el renormalization grupo, pero desde mi conocimiento sobre este tema es muy reciente, me gustaría que explícita una explicación posible)

el párrafo continúa

"La integración por partes y el uso de la MOE, se pueden eliminar los $\cal{O}_r$ a favor de las $\cal{O}'_r=(\phi{}D_{\mu}\phi^*)^2+h.c..$ Ahora es evidente que $\cal{O}'_r$ no renormalize $\cal{O}_{FF}$ porque $\phi{}D_{\mu}\phi^*$ o $\phi^*{}D_{\mu}\phi$ es externo en todos los uno-diagramas de lazos, y estos Lorentz estructuras no puede ser completado de forma $\cal{O}_{FF}$."

Toda esta parte me confunde. Quiero saber cómo hacer estas esquemática argumentos surgen en este contexto y cómo puedo aprender a usarlos (y sería bueno también si alguien señaló que "son todos uno-diagramas de lazos" que se mencionan.

Answer 1

Pensemos, por ejemplo, simple $\lambda \phi^3$-a la teoría de Lagrange $$ \mathcal{L}=-\frac{1}{2}\left|\partial_\mu\phi\right|^2-\frac{m^2}{2}\phi^2+\frac{\lambda}{3!}\phi^3. $$ Se puede decir que el $\lambda \phi^3$ plazo renormalizes la masa plazo, debido a la regularización y renormalization de la divergencia de un diagrama de bucle

conducirá a una normaliza la masa en el propagador.

En la teoría que describe, el operador $\mathcal{O}_{\mathcal{FF}}=|\phi|^2F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ conduce a un vértice de la siguiente forma:

En el Feynamn reglas en el impulso del espacio viene con un factor de $\frac{c_{\mathcal{FF}}}{\Lambda^2}{k_3}_\mu {k_4}_\nu$. El impulso factores son debido a los derivados en $F_{\mu\nu}$. Las flechas en la escalares líneas se corresponden con el flujo de la conserva de la $U(1)$ de carga y que de seguir la pista de la $\phi$$\phi^*$. Tomamos nota en particular de que este vértice no depende de la externa momenta de la escalares $k_1$$k_2$. Estos entran sólo a través del impulso general de la conversación en el vértice.

El acoplamiento $c_{\mathcal{FF}}$ ahora puede obtener normaliza por las divergencias en los diagramas con la configuración general

donde la dependencia externa de las piernas tiene que ser el mismo que el vértice de arriba. En particular, los diagramas que contribuyen a la renormalization del acoplamiento $c_{\mathcal{FF}}$ no puede depender de la escalares externo momenta $k_1$$k_2$.

Antes de la integración por partes, no es el vértice

en las reglas de Feynman que viene con el factor de $\frac{c_r}{\Lambda^2}{p_3}_\mu{p_4}^\mu$. Tenga en cuenta, que los dos contribuyen momenta vienen de una línea con la corriente de carga y una línea con salientes cargo, porque en $\mathcal{O}_r=|\phi|^2|D_{\mu}\phi|^2$, derivados de los actos de vez en $\phi$ y una vez en $\phi^*$. Usted puede utilizar este vértice para la construcción de un diagrama de contribuir a la renormalization de $c_{\mathcal{FF}}$, de la siguiente manera:

por lo que el factor que viene desde el vértice que en este caso no contienen $k_1$$k_2$.

Después de la integración por partes, el $\mathcal{O}'_r$

viene con un vértice factor de $\frac{c_r}{\Lambda^2}{k_2}_\mu{p_4}^\mu$ (o$\frac{c_r}{\Lambda^2}{k_1}_\mu{p_3}^\mu$ desde el complejo conjugado de la contribución) porque ahora los derivados actuar en dos $\phi^*$ (o en dos $\phi$'s en el complejo conjugado de la contribución). El vértice factor de ahora siempre contrato el impulso externo de uno de los escalares piernas, así que después de esta reformulación mediante una integración por partes, la de arriba bucles no puede renormalize $c_{\mathcal{FF}}$ más, debido a que el escalar vértice siempre contrato de uno de los externos escalar impulso si la conservación de la carga debe ser obedecido en el bucle (es decir, un $\phi$-pierna y un $\phi^*$-pierna punto hacia el circuito).

Por lo tanto, $\mathcal{O}_{\mathcal{FF}}$ también no se normaliza en el bucle de nivel en la formulación original (donde no es obvio), ya que las dos formulaciones son en última instancia equivalente.