Límite de $n(n^{1\over n}-1)$

Question

Cómo puede usted probar que diverge que $a_n=n(n^{1\over n}-1)$ $\infty $ sin la regla de L'Hopital. Mi conjetura sería en comparación pero no puedo encontrar cualquier secuencia de divergencia a $\infty$ que es menor que $a_n$

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Tenemos $$n^{1/n}=\exp((\log n)/n)\gt 1+\frac{\log n}{n}$ $ si $n\gt 1$. La desigualdad $\exp(t)\gt 1+t$ $t\gt 0$ puede demostrarse de muchas maneras.