Calcular el $(x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3})=3$ $x+y$.

Question

Calcular $(x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3})=3$, $x+y$.

Answer 1

$$\begin{align} x+\sqrt{x^2+3} &=\frac3{y+\sqrt{y^2+3}}\\ &=\frac3{y+\sqrt{y^2+3}}\frac{y-\sqrt{y^2+3}}{y-\sqrt{y^2+3}}\\ &=\frac3{-3}\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\\ &=-y+\sqrt{y^2+3}\tag{1} \end {Alinee el} $$ semejantemente $$ y + \sqrt {y ^ 2 + 3} =-x + \sqrt {x ^ 2 + 3} \tag {2} $$ Agregar $(1)$ y $(2)$ y los radicales.

Answer 2

Quiero explicar por qué esto es en realidad un notable problema.

La cuestión es demostrar que una curva algebraica de grado que podría ser tan alta como 8 (es un producto de dos términos con raíces cuadradas) define una línea recta-al menos para sus soluciones reales.

La forma habitual en que tal cosa ocurre, y se representan con bastante frecuencia en los problemas de competencia y el libro de ejercicios, son los siguientes:

• la ecuación que representa la igualdad de condición en una desigualdad de números reales (por ejemplo, la media aritmética es igual a la media geométrica para algunos adecuadamente construido conjunto de variables), o

• la ecuación de definición de la curva de factorizes, con algunos de los factores de no tener soluciones reales (por ejemplo, nuestro grado 8 de la curva podría ser $(x+y)^4$ multiplicado por un grado $4$ polinomio que es positivo para todas las coordenadas reales $(x,y)$).

Ninguno de estos es el caso aquí. Algebraica de cálculo, separando $x$ $y$ a diferentes lados de la ecuación, muestra que tenemos $f(x) = f(-y)$ por el incremento de la función de $f(x) = x + \sqrt{x^2+3}$, por lo que para soluciones reales a $x = -y$. Este es un buen argumento, y se generaliza a $F(x) = x + \sqrt{x^2 + a^2}$ y la ecuación de $F(x)F(y)=a^2$, pero encaja en algunos algebraicas marco? El problema es lo que ocurre con las soluciones complejas, o cuando la ecuación se maneja puramente algebraica.

La introducción de variables $X$$Y$$X^2 - x^2=3$$Y^2 - y^2=3$, no es un sistema de 3 ecuaciones cuadráticas en 4 incógnitas. La sorpresa aquí es que puramente algebraica de los cálculos en el sistema en el polinomio anillo de $\mathbb{Z}[x,y,X,Y]$, conducen a $3(x+y)=0$. Esto ilustra algunas de las complejidades que alrededor del teorema de Bezout; para afín y singular variedades que no ingenuamente determinar el grado de una intersección por el grado de conteo solo. El álgebra no es difícil en este caso, pero es bien vale la pena ir a través de la geometría, proyectivas y el esquema de la teoría de las descripciones de lo que está sucediendo en este engañosamente simple ejercicio.

Voy a editar la pregunta a ver si alguno de los 10 downvoters gustaría cambiar de opinión a la luz de esta información (suponiendo que no OP editar permite).

Answer 3

Sugerencia: Calcular el $(-t+\sqrt{t^2+3})(t+\sqrt{t^2+3})$.

Información: El producto en la pista es $3$. Para $y$por cada ciento, poniendo $x=-y$ obtenemos una solución de la ecuación de $$(x+\sqrt{x^2+3})(y+\sqrt{y^2+3}=3)=3\tag{$1 $}$ $ $x+y=0$. Ahora mostramos que estas son las soluciones únicas,

Uno de los términos en $(1)$ $\le \sqrt{3}$, dice el primero de ellos. A continuación, el segundo es $\ge \sqrt{3}$. Pero positiva $t$, la función $t+\sqrt{t^2+3}$ va en aumento, por lo que es un valor único de $y$ correspondiente a $x$.

Answer 4

Quiero añadir otra perspectiva a este problema. No desde el punto de vista de variedades algebraicas, ver zyx la respuesta de por que, pero desde el punto de vista de la enseñanza de una estrategia de resolución de problemas para los principiantes. La solución (como se ve desde varios posts) depende de un truco útil de la limpieza de la raíz cuadrada del denominador, pero IMVHO hay pasos importantes antes de llegar a ese punto.

Vamos a echar un vistazo al problema. Se nos da una ecuación sencilla de atar los valores de dos variables $x$ $y$ juntos. Fino - de los negocios como de costumbre. La ecuación parece un poco de miedo a causa de las raíces cuadradas y todo eso, pero presumiblemente esta ecuación define una curva de algún tipo. Pero se nos pregunta sobre el valor de la otra función, mucho más simple, la suma de las dos coordenadas. Espere un rojo minuto!? ¿Qué es esto? Suena como si un único número que se espera? Puede ser un rango de valores? No, eso No coincidan con los elegidos redacción. Tal y como está la pregunta es un poco extraño, porque a priori no hay motivo para sospechar que se podría decir mucho sobre el valor de $x+y$. Pero vamos a mantener una mente abierta!

Ninguno de los de primaria cosas parecen decir mucho acerca de la ecuación que nos fue dado. ¿Cómo podríamos siquiera empezar? Es hora de que mi grito de batalla: yo no podía hacer sentido de ella, así que calcula algunos ejemplos! Vamos enchufe en algunos valores de $x$, resolver por $y$, y ver cómo la tierra se encuentra. Un físico diría que se trata de un paso "experimental" o "hacer observaciones" - la técnica es algo subestimado en la educación de matemáticas (a pesar de que los profesionales hacen todo el tiempo). Vamos a intentar algo simple. Lo que si $x=0$? A continuación,$x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt3$, y estamos para solucionar $y+\sqrt{y^2+3}=3/\sqrt3=\sqrt3.$ Hmm? Un poco feo. Vamos a tratar de $x=1$. A continuación, llegamos $x+\sqrt{x^2+3}=1+\sqrt{4}=3$, y estamos para solucionar $y+\sqrt{y^2+3}=1$. Esta vez el valor de la r.h.s. fue una limpia entero, que es una mejora, supongo, pero no hay destellos de comprensión todavía. Otros valores de $x$ que harían $x+\sqrt{x^2+3}$ simple? $x=-1$ viene a la mente, dado que de nuevo $\sqrt{x^2+3}$ será igual a dos. Así que esta vez la $x+\sqrt{x^2+3}=-1+2=1$, y tenemos que resolver $y+\sqrt{y^2+3}=1$.

Ok, para conseguir algún ejemplo de los puntos de $(x,y)$ necesitamos para resolver ecuaciones de la forma $$ y+\sqrt{y^2+3}=a $$ para algunos $a$. ¿Cómo hacemos eso? Bueno, esto es algo donde podemos aplicar las cosas acerca de las ecuaciones que hemos aprendido anteriormente. Mantener la raíz cuadrada de un lado, mover el resto a la otra, y la plaza de los dos lados. Tenemos que seguir la pista de los signos, pero que la rutina. Así, obtenemos como consecuencia $$ y^2+3=\left(\sqrt{y^2+3}\right)^2=(a-y)^2=a^2-2ay+y^2. $$ Vamos a ver, el $y^2$ términos cancelar, con lo que conseguimos $2ay=a^2-3$$y=(a^2-3)/(2a)$. Al $x=1$, teníamos $a=1$, lo $y=(1^2-3)/(2\cdot1)=-1$. Del mismo modo, cuando se $x=-1$ tenemos $a=3$$y=(3^2-3)/6=1$. Y al$x=0$,$a=\sqrt3$$y=(3-3)/2a=0$.

Así que a la larga han observado algunos puntos de datos: $(x,y)$ puede ser uno de $(1,-1)$, $(0,0)$ o $(-1,1)$. Hay un sinnúmero de otros puntos, y se recomienda para producir unos a otros, si esto no es suficiente. ¿Cuál fue la pregunta de nuevo? El valor de $x+y$? Hmm, en todos estos "observado" puntos de las coordenadas de suma cero. Coincidencia? Posiblemente, estamos de matemáticas de la gente, por lo que la sospecha es una segunda naturaleza. Pero vamos a tratar de esto (por falta de mejores ideas, la verdad). Si realmente tenemos $x+y=0$ siempre, entonces debemos tener $y=-x$. ¿De que forma? Vamos a ver $$ (x+\sqrt{x^2+3})(-x+\sqrt{(-x)^2+3})=(x+\sqrt{x^2+3})(-x+\sqrt{x^2+3})?? $$ Ahh, es el buen ol' suma de dos cosas $\times$ su diferencia: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$a=\sqrt{x^2+3}$$b=x$. Tenemos $a^2-b^2=(x^2+3)-x^2=3$! El éxito! El éxito? Sólo nos mostró que los puntos de la línea $x+y=0$ satisfacen la ecuación dada, pero la dirección de la implicación que está mal. Queríamos a la inversa. Dejando eso a usted! Insertar una diabólica sonrisa aquí, pero también la sugerencia de que ahora usted puede dar un vistazo a las otras soluciones. También nuestros cálculos anteriores mostraron que para cada una de las $x$ hay una sola $a$ (mostrar que no es necesario dividir por cero!!!) y a cada una de las $a$ un $y$. Ya sabemos que los $y$ va a funcionar, al menos, por lo que parece que no hay otros???

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Este no es el único enfoque, pero se puede tomar la distancia, cuando usted está en un territorio desconocido. El éxito de la ms responden al parecer sacó de su personal de los bancos de datos y ajustar el patrón de reconocimiento de la heurística. Por supuesto, en la construcción de dichos bancos de datos que lleva tiempo, y hay que trabajar su camino a través de decenas de ejemplos a desarrollar y mejorar las habilidades de reconocimiento de patrones.

Answer 5

$$ p = x + \sqrt{x^2+3} \Rightarrow \sqrt{x^2+3} = p x \\ p ^ 2 = x ^ 2 + x ^ 2 + 3 + 2 x \sqrt{x^2+3} = 2 x ^ 2 + 3 + 2x(p-x) = 2xp + 3 \\ x = \frac {p ^ 2-3} {2 p} $$ de manera análoga, si y $y + \sqrt{y^2+3} = q$, a continuación, $$ = \frac {q ^ 2-3} expresiones de {2q} $$ inicial se convierte en $pq = 3$. Ahora, si calcular $x+y$ obtendrá $$ x + y = \frac {p ^ 2-3} {p 2} + \frac {q ^ 2-3} {2q} = \frac 12 \left (\frac {p ^ 2q 3q + q ^ 2 p - 3 p} {pq} \right) = \frac {p + q} 2 \left (pq-3\right) = 0 $