¿Qué es un campo conservador?

Question

Mi comprensión de los conservadores de campo es que es cualquier vector de campo que satisface ninguna de estas tres condiciones equivalentes: $$\oint_C\vec{F}.d\vec{s}=0$$for any closed path $C$ in the domain,$$\vec{F}=\vec{\nabla}\phi$$for some scalar field $\phi$ defined over the domain, and$$\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{0}$$ en cada punto del dominio.

Sin embargo, nuestro profesor nos dijo hoy que un conservador de campo y un campo derivado de un potencial no son la misma cosa. En mi investigación sobre el tema he encontrado este wolfram página que indica que la última condición no es equivalente a la de los otros, si el dominio $D$ no está simplemente conectado.

¿Alguien puede darme un ejemplo en el caso ?

Y en este caso, lo que se convierte en la definición de un conservador de campo ?

Answer 1

Considerar $\mathbf{F} = (-y/\sqrt{x^2 + y^2}) \mathbf{e}_x + (x/\sqrt{x^2 + y^2}) \mathbf{e}_y = (1/r) \mathbf{e}_\theta$ on the multiply connected domain $D =\mathbb{R}^2 \setminus (0,0)$.

Tenga en cuenta que $\mathbf{F}$ es el gradiente de una función de $\phi$$\hat{D} =D \setminus \{(r,\theta): \theta = 0 \}$, pero no en toda $D$.

En $\hat{D}$ tenemos para $\phi(r,\theta) = \theta$

$$\mathbf{F}(r,\theta) = \nabla \phi = \frac{\partial \theta}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial \theta}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{\partial \theta}{\partial z} \mathbf{e}_z =\frac{1}{r}\mathbf{e}_\theta .$$

Este campo tiene el valor cero curl largo de $D$, es decir,

$$ \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{1}{r} \right)\mathbf{e_z} = 0,$$

pero no es conservador. Alrededor de cualquier contorno circular $C$ centrada en el origen, tenemos

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} \frac{1}r r\, d\theta = 2 \pi \neq 0.$$

Es imposible satisfacer a $\mathbf{F} = \nabla \phi$ donde $\phi$ es continua y diferenciable y $\oint_C \mathbf{F} \cdot \, d \mathbf{s} \neq 0.$