Estoy tratando de demostrar que para cada entero $n \ge 1$, existe de manera única $a > 0$ y $b > 0$ tales que $n = a^2 b$, donde $b$ es libre de cuadrados.
Estoy intentando probar esto solo usando las propiedades de la divisibilidad y el MCD. ¿Es posible?
Permítanme asumir que $n = a^2 b = a'^2b'$ donde $a \ne a'$ y $b \ne b'$. ¿Podemos mostrar una contradicción ahora?
Para existencia: dado $n\geq1$, existe un entero maximal-para-divisibilidad $a$ tal que $a^2$ divide a $n$ y luego $n=a^2b$ para algún $b$. Si $b$ es divisible por el cuadrado de un entero positivo $c$, entonces $n$ es divisible por $(ac)^2$, entonces la maximalidad de $a$ implica que $ac=a$, es decir, que $c=1: esto significa que $b$ es cuadrado libre.
Para unicidad: supongamos ahora que también tenemos $n=c^2d$ con $d$ cuadrado libre. La maximalidad de $a$ implica que $c\mid a$, por lo que existe un $e$ tal que $a=ce$, y luego de $c^2e^2b=a^2b=c^2d$ obtenemos $e^2b=d$: dado que se suponía que $d$ era cuadrado libre, $e=1$. Se sigue que $a=c$ y $b=d.
Cabe destacar que demostrar que existe un entero maximal-para-divisibilidad $a$ tal que $a^2\mid n$ depende de las propiedades básicas de la relación de divisibilidad y del MCD. Todo lo demás es más o menos libre de tecnicismos.
¿Es tan obvio que $\text{gcd}(a^2, b^2) = (\text{gcd}(a,b))^2$? Creo que esto es necesario para la existencia de ese $a$ máximo para la divisibilidad.
Además de lo que preguntó RobertIsrael, tengo otra pregunta sobre esto: "La maximalidad de a implica que c a". - ¿Por qué? Sé que esto es cierto pero en cuanto a esta prueba se refiere, esta es una propiedad que aún no ha sido introducida en el libro.
@André Pero la prueba no está utilizando la maximalidad con respecto al valor absoluto, sino más bien con respecto a una cierta condición de divisibilidad, más precisamente, la propiedad demostrada en la pregunta anterior a la que enlazo. Sería útil si el autor lo indicara de manera más precisa, ya que parece haber confundido al menos a un par de lectores.
Pista $\ $ Si $\rm\: a^2 d =n = b^2 c\:$ para $\rm\:d,c\:$ libres de cuadrados entonces $\rm a\:|\:b\:|\:a\:\Rightarrow\:a=b,\:$ ya que, según tu pregunta anterior, para $\rm\: z\:$ libre de cuadrados, $\rm\ x^2\:|\:y^2 z\:\Rightarrow\: x\:|\:y,\:$ lo cual aplicamos en ambas direcciones dos veces arriba.
@LoneLearner Pero mi prueba en el hilo enlazado no usa eso. Más bien, solo usa que $\rm\:c\:$ es libre de cuadrados (necesariamente cierto cuando su cofactor $\rm\:b^2\:$ es un divisor cuadrado maximal de $\rm\:n = b^2 c,\:$ de lo contrario $\rm\:d^2\:|\:c,\ d > 1\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:(bd)^2\:|\:n,\ bd > b,\:$ contra la maximalidad de $\rm\:b).$
Para la existencia, sea $a$ el entero más grande, en el orden usual, tal que $a^2$ divide a $n$. Si $n=a^2q$, entonces $q$ debe ser libre de cuadrados.
Para la unicidad, llamemos a un entero positivo malo si tiene dos descomposiciones diferentes $a^2c$ y $b^2d$, donde $c$ y $d$ son libres de cuadrados, y $a$ y $b$ son positivos. Si existen enteros positivos malos, sea $M$ el más pequeño.
Si $a$ y $b$ no son relativamente primos, podemos obtener un entero positivo malo más pequeño que $M$. Por lo tanto, $a$ y $b$ son relativamente primos.
Mostramos que $a^2$ y $b^2$ son relativamente primos. Hay varios enfoques. Uno que me gusta es que existen enteros $x$ e $y$ tales que $ax+by=1$. Cubramos ambos lados. Obtenemos $$a^2(ax^3+3x^2by)+b^2(3axy^2+by^3)=1,$$ lo cual indica que $a^2$ y $b^2$ son relativamente primos.
Dado que $a^2c=b^2d$ y $a^2$ y $b^2$ son relativamente primos, tenemos $a^2\mid d$. Esto contradice el hecho de que $d$ es libre de cuadrados, a menos que $a=1$. De manera similar, $b=1$, y por lo tanto $M$ no puede ser malo.
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La pregunta a la que se ha vinculado no incluía la condición adicional de usar solo propiedades de divisibilidad y del MCD; de hecho, las respuestas allí no cumplen con esta condición.
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Por favor, vuelva a abrir esta pregunta. Esta pregunta no es un duplicado. Esta pregunta requiere una prueba por contradicción que no puedo encontrar en el enlace proporcionado como "posible duplicado".
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Es probablemente digno de mención que la pregunta a la que se refieren los comentarios anteriores es Mostrar que cada n se puede escribir de forma única en la forma n=ab, con a libre de cuadrados y b un cuadrado perfecto. (Ver historial de revisiones.)