Seleccione $n^2 + 1$ puntos en el cuadrado unitario. Demuestra que al menos dos puntos no están a más de una distancia $\sqrt{2}/n$ aparte

Question

Sé que tengo que utilizar el principio de encasillamiento para demostrarlo, pero no sé exactamente cómo.

Lo que creo que podría hacer es dividir el cuadrado de la unidad en $n^2$ cuadrados.

Utilizando el teorema de Pitágoras, la distancia máxima entre 2 puntos de estos cuadrados es $\sqrt{2}/n$ (diagonales).

Entonces, por el principio de casillero debe haber un cuadrado con $2$ puntos en él ya que hay $n^2$ cuadrados y $n^2 + 1$ puntos.

¿Sería ésta una forma correcta de demostrar la afirmación?

Answer 1

Su argumento es correcto.

Por supuesto, hay que pensar que los cuadrados se superponen, por lo que un punto podría estar en más de un cuadrado. Pero el principio de los casilleros sigue funcionando si algunas palomas se duplican y se meten en varios agujeros.