Sea S = {x | X no es un elemento de x}
El conjunto S no existe. Entonces, ¿sería verdadera o falsa una proposición como "La cardinalidad de S es 1"?
Equivocamente, podría haber hecho una proposición, "los unicornios son rojos". ¿Sería la proposición falsa ya que los unicornios no existen, o sería cierto?
Idealmente, me gustaría una explicación lógica proposicional / predicado. Gracias de antemano por la ayuda.
En condiciones normales de la lógica de primer orden, no puede referirse a algo que no existe. Así, por ejemplo, directamente no se puede decir que "La cardinalidad de a $S$ es de 1." Esto es porque cada término, en la lógica de primer orden, se refiere siempre a un objeto real, y así no hay manera de hacer un plazo para $S$. Esta es una razón por la que no todos los ingleses expresión se puede traducir directamente en la lógica de primer orden.
Lo que puedes hacer es utilizar cuantificadores y una definición de $S$ a simular refiriéndose a $S$. Por ejemplo, usted puede decir $$ (\forall z)[ (z = \{ x : x \no \x\}) \a ( |z| = 1)] $$ o $$ (\existe z)[ z = \{ x : x \no \x\} \text{ y } |z| = 1] $$
El primero de estos, con un $\forall$, vienen a ser cierto, porque no es $z$ para que coincida con la hipótesis de la implicación. El segundo, con un $\exists$, va a salir en falso, esencialmente por la misma razón.
Para los efectos de la formalización de las matemáticas, que este sistema funcione perfectamente bien. Después de todo, en matemáticas, estamos interesados en los objetos que no existen. La experiencia demuestra que no necesitamos más de la lógica de primer orden permite que cuando queremos escribir axioma de sistemas para la teoría de conjuntos.
Sin embargo, para la formalización del lenguaje natural, la lógica de primer orden puede dejar algo que desear. El campo de la libre lógica de los estudios de lógica en el que algunos términos no pueden denotar objetos reales - algunos términos son "indefinido", como $1/0$. En el libre de la lógica, las declaraciones no tienen que ser verdadera o falsa, y, en particular, las declaraciones como "$|S| = 1$" no va a ser verdaderas o falsas, porque son fórmulas atómicas con términos indefinidos en ellos.
La lección de Russel paradoja no es que $S$ no existe, la lección es que si se acepta que puede definir a una $S$ usted obtiene una contradicción.
Sin embargo, para responder a la pregunta del título, la declaración "$\left( \exists x \mbox{ such that } P(x)\right) \implies Q$", o en lenguaje escrito "Si (existe un $x$ tal que $P(x)$),$Q$." es cierto, independientemente de la declaración de $Q$, en caso de no $x$ existe. Este es de la misma manera que los "falsos implica cierto" es una declaración verdadera.
Así, "La cardinalidad de a $S$ 1" es:
Yo iría a por el número 2, pero se puede argumentar para cualquier caso.
Su pregunta es, esencialmente, una cuestión de filosofía. Aquí están algunas declaraciones sobre el imaginario de las entidades que se han definido valores de verdad.
"Un unicornio tiene un cuerno." Esto es cierto. Y la proposición "Un unicornio tiene dos cuernos" es falsa. ¿Por qué es esto? Es porque la definición de un unicornio incluye la condición de que un unicornio tiene un cuerno. De hecho podemos tomar la definición es: "Un unicornio es una criatura de ficción que tiene un cuerno." Así que tenemos derecho a asignar definido valores de verdad de las declaraciones que me dio.
Ahab es el capitán del Pequod." Esto también es una declaración verdadera acerca de la ficción de la entidad. El capitán Ahab no existe y la novela Moby Dick es la ficción. Sin embargo, esta afirmación es verdadera; pero por una razón diferente que el unicornio ejemplo. En este caso, Ahab es el capitán del Pequod" es verdad, ya que estamos implícitamente añadiendo la cláusula "... en la novela Moby Dick." Pero eso no es ninguna objeción a la asignación de un valor de verdad; después de todo, "1 + 1 = 2", también tiene un implícitamente anexa de la cláusula: "... en la aritmética ordinaria."
¿Qué tipo de declaraciones sobre el imaginario de las entidades no tienen valores de verdad? Cómo acerca de: "el Capitán Ahab le gusta comer huevos revueltos." La novela Moby Dick no dice nada acerca de Acab preferencias de comida, así que no tenemos base para asignar un valor de verdad.
Y su ejemplo "los Unicornios son de color rojo" es muy difícil de analizar de una manera o de otra. Ciertamente podría decir que los unicornios son de color rojo. En particular, un rojo unicornio es un animal ficticio que es de color rojo y tiene un cuerno." Así que un unicornio rojo es rojo. Que es una declaración verdadera. O, podríamos decir que la definición de un unicornio no proporciona la información suficiente para asignar un valor de verdad de una manera o de otra.
Hay mucho más que podría decir, pero es una cuestión de filosofía y no de matemáticas; y, en cualquier caso, no estoy calificado para hablar sobre ella. Pero estos vínculos pueden ser de su interés.
El artículo de Wiki en proposiciones. Una proposición es "el principal portador de valor de verdad" en la filosofía. El término se remonta a Aristóteles.
El artículo de la Wikipedia en verdad-portadores. La verdad es portador de una cosa que es verdadero o falso y nada más. De nuevo, muchos eruditos filósofos han pensado acerca de lo que significa.
La SEP, a la entrada en matemática ficcionalismo. Esta es una reacción a la doctrina del Platonismo, que afirma que los enunciados matemáticos son acerca de algo real. Ficcionalismo considera la oppposite punto de vista.
Para resumir: es sin duda el caso de que algunas declaraciones acerca de ficción entidades no se han definido valores de verdad; y que esto puede suceder por una variedad de razones. E incluso podemos discutir el caso de que los enunciados matemáticos son del mismo tipo: declaraciones sobre el imaginario de las entidades que se han definido valores de verdad.
El uso de la lī ogica de con $\in$ como infijo binario relación:
$\forall x:[x\in S \iff x\notin x]$ (Premisa)
$S\in S \iff S\notin S$ (Universal Especificación, 1) (una contradicción)
$\neg \exists S:\forall x:[x\in S \iff x\notin x]$ (Celebración, 1, 2)
Desde $S$ no puede existir, no podemos aplicar la definición de cardinalidad (lo que sea) a $S$, por lo que no podemos probar nada acerca de su cardinalidad.
Tenga en cuenta que esto no es una propiedad peculiar de la $\in$ como la pertenencia, o a $S$ ser un conjunto. Podríamos tener tan fácilmente han demostrado ser $\neg \exists y:\forall x:[R(x,y) \iff \neg R(x, x)]$ como sigue:
$\forall x:[R(x,y) \iff \neg R(x,x)]$ (Premisa)
$R(y,y) \iff \neg R(y,y)$ (Universal Especificación, 1) (una contradicción)
$\neg \exists y:\forall x:[R(x,y) \iff \neg R(x, x)]$ (Celebración, 1, 2)
Yo diría que si la lógica se realiza a más de reflejar (útil) de matemática de uso, la respuesta sería que dichas proposiciones, si atómica, son tontas. El tonto de verdad el valor o valores puede ser pensado como algo intermedio entre la verdadera y la falsa verdad de los valores. Si la lógica se hace para hacer un Heyting prealgebra con una orden de inversión negación involutiva $\neg$, con un par de reglas simples, entonces uno puede definir $\operatorname{false} A$ $A \rightarrow \bot$, $\operatorname{true} A$ como $\neg A \rightarrow \bot$$\operatorname{silly} A$$((A \wedge \neg A) \rightarrow \bot) \rightarrow \bot$. Cada predicado y símbolo de función puede implícitamente ser llevado a tener su propio dominio de definición asociados con él. En particular, los símbolos de predicado enviar términos indefinidos y n-tuplas de términos fuera de su dominio de definición de tonto proposiciones, y los símbolos de la función de envío términos indefinidos y n-tuplas de términos fuera de su dominio de definición de términos indefinidos.
Si tonto proposiciones debe ser assertible, yo diría que, en general, sí. De esa manera los matemáticos pueden evitar el pedante molestia de siempre tener que restringir las cosas donde tienen sentido. E. g., uno quiere ser capaz de defender las declaraciones como "$x/x = 1$" o "$\operatorname{not} x/x =2$" para siempre sin tener que anteponer a la suposición de que $x \neq 0$. O cuando se habla de las funciones que son continuas en a $c$ o que no tienen continuidad en $c$, uno no quiere tener que hablar sobre el caso en el que $c$ no está en el dominio de las funciones bajo consideración. Por supuesto, no atómica frases sobre indefinido cosas puede ser verdadero, falso, o tonto. E. g., "no es cierto que $1/0 = 1$" es cierto. Con bastante frecuencia, uno necesita afirmar de una declaración de que es cierto. Yo diría que, idealmente, la afirmación debe ser aceptable si la declaración afirma es verdadero o tonto, que corresponde a la más básica de uso del subjuntivo. Idealmente, la mayoría de las matemáticas se debe hacer en modo subjuntivo y el indicativo debe ser reservado para las afirmaciones de la verdad. Pero esto haría que los matemáticos de sonido como son el uso de los llamados (indigno) pirata de hablar, el uso de "ser" por "es" en casi todas partes, y rara vez la conjugación de la tercera persona del singular. Pero en realidad es realidad no iba a ser como (ridículo) pirata hablar, porque no pocas veces el indicativo en realidad habría de ser utilizado. Sería un discriminar tipo de discurso, en realidad. Este tipo de enfoque sugiere donde la risa viene, también. Riendo $A$ corresponde a $\operatorname{ha} A$, el cual se puede definir como $A \wedge \operatorname{silly} A$. La razón por la $1/0 = 1$ no hacer reír a la gente (incluso si "$=$" se lee como "iguales" en lugar de "es igual a") es que $1/0 = 1$ es así que, obviamente, tonto no es no sentir ningún propósito comunicativo para reírse de él, tanto como farsa es tan obviamente una tontería que no es tan divertido para la gente con un sentido del humor como el humor que es menos obviamente una tontería. La filosofía, la matemática de la estupidez es una especie de ultrafarce--demasiado ridículo para provocar la risa. Las matemáticas es un tema serio, incluso si está muy bien (en mi opinión) no es totalmente en serio.
Incluso en los mismos fundamentos de la lógica (por ejemplo, cuando se trata de análisis) de la estupidez y parcialmente definidos los símbolos de la función son útiles. E. g., puede ser útil en el análisis de pensar de una cuña de operación correspondientes al operador $\wedge$ que no tiene sentido en las expresiones que tienen $\vee$ operadores de ellos fuera de los paréntesis. Y analizar adecuadamente las preocupaciones de las apariciones de símbolos en lugar de los símbolos en sí mismos, y si no es de suponer que la aparición de una expresión no está definido si las ocurrencias de los símbolos en que no todos los que difieren el uno del otro, mientras que, al mismo tiempo, lo que permite sustituir las apariciones directamente de una ocurrencia de una expresión en otra aparición de una expresión, se obtiene en descuido o pedante niveles de dificultad.
Me inclino a pensar que, en caso de que se rampa cosas aún más la eficiencia y la exactitud, podría ser útil para atómica declaraciones de un unassertible tipo de estupidez, así como de una assertible tipo de estupidez (que en conjunto corresponden a la verdad de los valores no se ven afectados por la negación). E. g., cuando aseveramos que $\frac {d y^n}{dx} = {n y}^{n - 1} \frac {dy}{dx}$, probablemente también quiere afirmar que $\frac {d y^n}{dx}$ está definido si $\frac{dy}{dx}$ está definido. Uno podría agregar un artículo, digamos, "vosotros" (no estoy muy contento acerca de las opciones, que todavía tengo que considerar de forma exhaustiva y cuidadosamente), antes de la $\frac {d y^n}{dx}$ signo y tienen diferentes reglas lógicas garantizar que los atómica declaraciones son unassertibly tonto si son tontas simplemente en la cuenta de los símbolos de la función precedido por "ye" toma valores en el dominio, pero los valores definidos. Para mantener las reglas de inferencia de la lógica, coherente, uno también quiere dos valores de verdad correspondientes, respectivamente, al cumplir (no assertible) y a la combinación (assertible) de un unassertibly tonto instrucción atómica con un assertibly tonto instrucción atómica. Por lo que en total habrá cuatro tonto la verdad de los valores. Pero todavía no he escrito los cuatro valores de la estupidez enfoque exactamente como lo he hecho (en el proyecto de la lógica libro que he estado escribiendo durante la última década o así) con el enfoque que considera la estupidez, como un valor de verdad, y por lo tanto no estoy tan seguro en cuanto a su utilidad o si una modificación es preferible.
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