Deje $f: X \to Y$ ser un bijective función continua. Si $X$ es compacto, y $Y$ es Hausdorff, entonces $f:X \to Y$ es un homeomorphism.
Mi objetivo es demostrar la necesidad de que tanto el compacto y Hausdorff propiedad de $X$ $Y$ respectivamente. Quiero saber si mi contador ejemplos son correctos:
Deje $f: X \to Y$ ser la función identidad.
(1) Vamos a $X=[0,1]$ con el estándar de la topología y deje $Y=[0,1]$ con la topología indiscreta. A continuación, $f: X \to Y$ es continua y bijective pero no homeomorphism. Desde $U=(1/3,1/2)$ está abierto en $X$, pero $(f^{-1})^{-1}(U)=f(U)$ no está abierto en el $Y$.
(2) Vamos a $X=Y=\mathbb{R}$. Deje $Y$ tiene el estándar de la topología y de la $X$ tiene la topología discreta. Deje $U=\{x\}$ desde el abierto de conjuntos son los únicos. $f(^{-1})^{-1}(x)=f(x)$ es cerrado en $Y$ desde $Y$ tiene el estándar de la topología. Por lo tanto $f$ no es un homeomorphism.
Esta es la vieja pregunta
Mi objetivo es demostrar la necesidad de que tanto el compacto y Hausdorff propiedad de $X$ $Y$ respectivamente. Quiero saber si mi contador ejemplos son correctos:
Deje $f$ ser la función identidad. A continuación, $f: X \to Y$ ser un bijective función continua. Si $X=[0,1]$ con el estándar de la topología y de la $Y=[0,1]$ con la topología indiscreta tenemos que $f:X \to Y$ no es un homeomorphism.
Deje $f: X \to Y$ ser un bijective función continua, $X=(0,1)$, e $Y=[0,1]$ tanto con el estándar de la topología. No es un homeomorphism porque $f^{-1}([0,1])$ no está conectado, sino $[0,1]$ está conectado.
La primera muestra por qué Hausdoff es necesario para $Y$ y el segundo muestra la compacidad es necesario para $X$.
Son dos de los ejemplos correctos? No tengo confianza en mi primer ejemplo porque estoy teniendo problemas mostrando $f^{-1}$ no es continua. Sin embargo, tengo confianza en mi segundo ejemplo.
