Gödel demostró que si ZF es consistente, entonces ZFC es también coherente. Él hizo esto por mostrar que su edificable universo es un modelo de ZFC. Gödel también introdujo la noción de una $\omega$coherente con la teoría. Se ha demostrado que si ZF es $\omega$-de acuerdo, entonces ZFC también es $\omega$-consistente? Ya se puede Gödel la consistencia de la prueba se extiende a mostrar esto? (O es este ángulo de ataque raro para tener éxito, porque no tenemos una correspondiente integridad resultado para $\omega$-consistente teorías, que garantice la existencia de una lo suficientemente bien educados (modelo de ZF)?)
Respuesta
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Cualquier testigo de $\omega$-inconsistencia de ZFC puede ser transformados a un testigo de $\omega$-inconsistencia de ZF como sigue. Supongamos $\phi(x)$ es una fórmula tal que para cada número $n$, ZFC demuestra $\phi(n)$ también $(\exists x \in \omega)\neg \phi(x)$. Deje $\psi(x) = \phi^L(x)$ ser obtenida a partir de a $\phi(x)$ mediante la restricción de su cuantificadores a $L$. A continuación, para cada número $n$, ZF se demuestra a $\psi(n)$ desde los teoremas de ZFC cuando relativizada a $L$ son teoremas de ZF. También se $L$ es transitiva lo $(\exists x \in L \cap \omega) \neg \psi(x)$ es equivalente (en ZF) a $(\exists x \in \omega) \neg \psi(x)$. Por lo tanto $\psi(x)$ testigos de la $\omega$-inconsistencia de ZF.
