$\displaystyle\frac 9 {10}\cdot\frac {99} {100}\cdot\frac {999} {1000}\cdots=?$
Normalmente, el producto de infinitos números que son menores que 1, es 0. ¿Pero qué tal esta vez?
Gracias.
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riza
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170
Es $\displaystyle \left(\frac{1}{10};\frac{1}{10}\right)_\infty=\sqrt[24]{10}\eta\left(-\frac{\log 10}{2\pi i}\right)\approx \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2810%5E1%2F24%29\*DedekindEta%5B-+Log%5B10%5D+%2F+%282\*Pi\*I%29%5D}{0.890010099998999000000100009999999989999900}...$
Ver Símbolo q-Pochhammer y Función eta de Dedekind para más detalles.
La prueba de que el producto converge a un valor positivo se puede demostrar elementalmente. Tenemos
$$\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\left[\frac{\bf 2-1}{\color{Blue}{2}}\frac{\color{Blue}{3-1}}{\color{Red}{3}}\frac{\color{Red}{4-1}}{\color{DarkGreen}{4}}\cdots\frac{\color{DarkOrange}{n-1}}{\bf n}\right]\left[\frac{\color{Blue}{2+1}}{\bf 2}\frac{\color{Red}{3+1}}{\color{Blue}{3}}\frac{\color{DarkGreen}{4+1}}{\color{Red}{4}}\cdots\frac{\bf n+1}{\color{DarkOrange}{n}}\right]$$
$$=\frac{2-1}{n}\frac{n+1}{2}\longrightarrow \frac{1}{2}\quad\textrm{as}~n\to\infty.$$
En comparación, $k^2<10^{k-1}\implies 1-1/k^2<1-10^{-k}$ , lo que demuestra que nuestro valor converge a $>1/2$ .
Ukavi
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116
El producto de una serie de infinitos números menores que 1 puede ser 0, pero su serie no es de infinitos números menos que uno. El último número de su serie es el 1.
Su serie $$\displaystyle\frac 9 {10}\cdot\frac {99} {100}\cdot\frac {999} {1000}\cdots$$
es equivalente a:
$$\displaystyle 0.9\times0.99\times0.999\times\cdots\times0.\overline9$$
el último término de los cuales, $0.\overline9 = 1$ . Como los números de la serie aumentan hacia el uno, esta serie parece converger hacia un valor distinto de cero. La multiplicación de los primeros términos parece confirmarlo: $$0.9\times0.99 = 0.891$$ $$0.891\times0.999=0.890109$$ $$0.890109\times0.9999=0.8900199891$$ $$0.8900199891\times0.99999=0.890011088900109$$ $$0.890011088900109\times0.999999=0.8900109889020099891$$ $$0.8900109889020099891\times0.9999999=0.8900101098880002109889900109$$
