Es cierto que la "dualidad" es un concepto amplio en muchos campos y en el campo de las matemáticas no es la excepción. Por ejemplo, el sitio web de Wikipedia muestra muchas formas de dualidad en Matemáticas. Como matemáticos queremos abstraer el significado de una palabra en un concepto único que ecompasses todas las situaciones.
Para dualidad necesitamos definir dos espacios de objetos y un atributo (propiedad) de los objetos. A continuación, establecer una relación entre los objetos de un espacio y la otra a través de este atributo. Si esta relación es único, nos dice que los objetos de un espacio son duales de los objetos en el espacio. Esto no es otra cosa que la definición de un bijective función. Cualquier dualidad en matemáticas puede ser expresado como un bijective función entre dos espacios de objetos. Por lo $a \in A$ es el doble de $b \in B$ si hay alguna relación $f$ tal que $b=f(a)$ $a=f^{-1}(b)$ en una manera única.
Dos propiedades deben estar presentes siempre en la dualidad:
- Simetría: Si $a$ es el doble de $b$, $b$ es el doble de $a$.
- Idempotence: Si $d$ es doble operación, a continuación,$d^2 = I$.En palabras, el dual del dual es el objeto original.
Si los dos espacios de objetos son el mismo, la función de $f$ descrito en el primer párrafo, en la parte superior de ot de este post, es idemponent. Que es $f^2=I$. De lo contrario, necesitamos dos funciones diferentes $f$ $f^{-1}$ para volver al punto de partida.
Por ejemplo, en álgebra lineal, en el espacio de las matrices cuadradas, la transposición es un idempotente operador y por lo tanto es una doble operación que no se salga el espacio (que está cerrado). Si la matriz no es cuadrada, su transpuesta hojas en un espacio diferente y la trasposition función no es idempotente más. Esto se generaliza para el análisis funcional con el concepto de adjuntos. En la geometría esférica de un polo norte es un doble de su ecuador, pero los objetos no vivimos en el mismo espacio: la primera son los puntos y el segundo "líneas" en la esfera. Pero en la geometría esférica triángulos son dual de polar triángulos y dejan en el mismo espacio por lo que la dualidad aquí es un idempotence.
Por favor observe que el doble en esta discusión puede ser confundido con el concepto de inversa y un claritication es necesario. En el lenguaje del primer párrafo es, ya que establecer un bijection entre los objetos y, por definición de inversa, la dualidad y la inversión están vinculadas entre sí. Sin embargo, no es una inversa en muchos aspectos. En el espacio de las matrices, la transposición es un doble, pero no es una inversa de la matriz y, en general, el adjunto no es el inverso para el contexto más general de análisis funcional. Ahora, si definimos una función en el espacio de las matrices cuadradas como el envío de una matriz en su transpuesta, entonces la inversa de esta función coincide con el concepto de doble, pero no es la inversa de la matriz, así que por la "inversa" debemos ser precisos de qué tipo de inversa que estamos buscando.
Se dice entonces que la dualidad es una palabra asociados a los objetos y espacios, donde los objetos dejan. Se podría decir que los dos espacios son dual de cada uno de los otros si hay un bijective función entre ellos. En este sentido, la dualidad es una relación de equivalencia:
- Reflexiva: Cada espacio dual a sí mismo. La función identidad es siempre una dualidad.
- Simétrica: Si un espacio de $A$ es dual de un espacio de $B$, luego un espacio de $B$ es dual de un espacio de $A$. Este es, por definición, ya que existe un bijective función entre los dos espacios.
- Transitiva: Función de la composición de bijective funciones.
