Evaluación de $\int_0^{\pi/2}\sin(2nx)\sinh(a\sin x)\sin(a\cos x)dx $

Question

Quiero demostrar que $$\int_0^{\pi/2}\sin(2nx)\sinh(a\sin x)\sin(a\cos x)dx =\frac{(-1)^{n+1}\pi a^{2n}}{4(2n)!}$$

alguien tiene una idea

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que

$$\cos{\left ( a e^{-i x}\right)} = \cos{(a \cos{x})} \cosh{(a \sin{x})} + i \sin{(a \cos{x})} \sinh{(a \sin{x})}$$

de modo que la integral es

$$\Im{\left [\int_0^{\pi/2} dx \, \sin{2 n x} \; \cos{\left ( a e^{-i x}\right)} \right ]}$$

Expandir el coseno en una serie de Taylor, de modo que la integral sea

$$\Im{\left [\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k a^{2 k}}{(2 k)!} \int_0^{\pi/2} dx \, \sin{2 n x} \;e^{-i 2 k x} \right ]}$$

La integral es cero a menos que $k=n$ y sólo la parte imaginaria es distinta de cero. El resultado se deduce del hecho de que

$$\int_0^{\pi/2} dx \, \sin^2{2 n x} = \frac{\pi}{4}$$

cuando $n \in \mathbb{N}$ .