Evaluar $\int_0^\infty \frac{\ln^2(z)}{1+z^2}$dz por el contorno de la integración

Question

Antecedentes: Esta es la parte b del problema 12.4.3 de Arfken, Weber, Harris Métodos de Matemáticas para los Físicos para mostrar que $\int_0^\infty \frac{\ln^2(z)}{1+z^2}$dz$=4(1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\dots)$.

La parte b de la pregunta para mostrar que esta serie se evalúa a $\frac{\pi^3}{8}$ por el contorno de la integración. Donde está mi error: $\lim_{z \to 0}zf(z)=0$ $\lim_{z \to \infty}zf(z)=0$ por lo que el grande y el pequeño círculo igual a 0.$

Dibujo de una rama cortada a lo largo del eje x positivo y la integración de la izquierda a lo largo del eje x positivo alrededor de un gran círculo de la negativa del eje x desde el infinito y el pequeño círculo:

Suponga $I=\int_0^\infty \frac{\ln^2(x)}{1+x^2}\text{dx}$

Podemos agregar los componentes de a lo largo del contorno y de conjunto que igual que el valor de $2\pi i \text{Res}[f(z),i]$ evaluado en los polos $\pm i$ $$\int_0^\infty \frac{\ln^2(z)}{1+z^2}\text{dz}+\int_{\infty}^0 \frac{\ln^2(z)}{1+z^2}\text{dz}=2\pi i \text{Res}[f(z),\pm i]\tag{1}$$

$$\int_0^\infty \frac{(\ln^2 \mid x\mid}{1+x^2}\text{dx}-\int_0^{\infty} \frac{(\ln\mid x\mid+2i\pi)^2}{1+x^2}\text{dx}=2\pi i \left (\lim_{z \to i}\frac{\ln^2(z)}{2z}+\lim_{z \to -i}\frac{\ln^2(z)}{2z}\right )\tag{2}$$

$$\int_0^\infty \frac{(\ln^2\mid x\mid}{1+x^2}\text{dx}-\int_0^{\infty} \frac{(\ln^2\mid x\mid+\color{red}{4\ln|x|i\pi}-4\pi^2)}{1+x^2}\text{dx}=2\pi i \left (\lim_{z \to i}\frac{\ln^2(z)}{2z}+\lim_{z \to -i}\frac{\ln^2(z)}{2z}\right )\tag{3}$$ $$0I+\color{red}{0}-\left[\tan^{-1}(x)\right]\mid^{\infty}_0(4\pi^2)\text{dx}=(2\pi i) \left (\frac{-\pi^2/4+9\pi^2/4}{2i}\right )\tag{4}$$ $$0I+2\pi^3=\frac{8\pi^3}{4}\tag{5}$$

Para la explicación de la red integral ver aquí, aquí o aquí.

Encontré mi error. Era un signo negativo, y a los dos lados cancelar a cero, por lo que no se puede evaluar de esta manera, pero he encontrado una respuesta en la que se evalúa es de negativo a positivo infinito, así que estoy de marcar la pregunta como un duplicado. Ver dustin respuesta en el enlace para el contorno de integración.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ El contorno es un key-hole $\ds{\,\mc{C}}$ que tiene en cuenta el $\ds{\ln}$-rama de corte $$\ln\pars{z} = \ln\pars{\verts{z}} + \,\mrm{arg}\pars{z}\ic\,;\qquad z \no= 0\,,\quad 0 < \,\mrm{arg}\pars{z} < 2\pi $$ cuando una integración de $\ds{I \equiv \oint_{\mc{C}}{\ln^{3}\pars{z} \over 1 + z^{2}}\,\dd z}$ se realiza. El integrando tiene solo polos , de acuerdo a lo anterior de la rama cortada, $\ds{\expo{\pi\ic/2}}$$\ds{\expo{3\pi\ic/2}}$.

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\begin{align} I & = 2\pi\ic\,\bracks{{\pars{3\pi\ic/2}^{3} \over -\ic - \ic} + {\pars{\pi\ic/2}^{3} \over \ic + \ic}} = {13 \over 4}\,\pi^{4}\ic\label{1}\tag{1} \end{align}

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\begin{align} I & = \int_{0}^{\infty}{\ln^{3}\pars{x} \over 1 + x^{2}}\,\dd x + \int_{\infty}^{0}{\bracks{\ln\pars{x} + 2\pi\ic}^{\,3} \over 1 + x^{2}}\,\dd x \\[5mm] & = \int_{0}^{\infty}{\ln^{3}\pars{x} \over 1 + x^{2}}\,\dd x - \int_{0}^{\infty}{\ln^{3}\pars{x} + 3\ln^{2}\pars{x}\pars{2\pi\ic} + 3\ln\pars{x}\pars{2\pi\ic}^{2} + \pars{2\pi\ic}^{3} \over 1 + x^{2}}\,\dd x \\[5mm] & = -6\pi\ic\int_{0}^{\infty}{\ln^{2}\pars{x} \over 1 + x^{2}}\,\dd x + {1 \over 12}\,\pi^{2}\ \underbrace{\int_{0}^{\infty}{\ln\pars{x} \over 1 + x^{2}}\,\dd x}_{\ds{=\ 0}}\ +\ 8\pi^{3}\ic\ \underbrace{\int_{0}^{\infty}{\dd x \over 1 + x^{2}}} _{\ds{=\ {\pi \over 2}}} \\[5mm] & = -6\pi\ic\int_{0}^{\infty}{\ln^{2}\pars{x} \over 1 + x^{2}}\,\dd x + 4\pi^{4}\ic \label{2}\tag{2} \end{align}

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Con \eqref{1} y \eqref{2}: \begin{align} {13 \over 4}\,\pi^{4}\ic & = -6\pi\ic\int_{0}^{\infty}{\ln^{2}\pars{x} \over 1 + x^{2}}\,\dd x + 4\pi^{4}\ic \\[5mm] \implies & \bbx{\int_{0}^{\infty}{\ln^{2}\pars{x} \over 1 + x^{2}}\,\dd x = {\phantom{^{3}}\pi^{3} \over 8}} \end{align}