Límite con $\tan$ L Hôpital

Question

Tengo clase de una forma sencilla y tal vez pregunta estúpida, pero $$ \lim_{x\to 0} \frac{(\tan x-x)}{x^3} $$ why am I not allowed to split the limit like this : $$\lim_{x\to 0} \frac {\tan x}{x^3} -\frac{x}{x^3}$$ which equals $0$? Se me ocurrió la respuesta correcta después de usar L'Hôpital.

Answer 1

$ \infty - \infty $ no un cero, cuando se trata de límites.

Por ejemplo, el límite de \begin{equation*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^5 - x^4}{x} \end{ecuación*} es claramente $ \infty $, pero si se trató de "split", que obtendría $ \infty - \infty $. El problema es que las dos cantidades ir a $ \infty $ a un ritmo diferente (aquí, el término positivo, es mucho más rápido que el término negativo).

Answer 2

$$\lim_{x\to 0} \frac {\tan x}{x^3} -\frac{x}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac {\tan x}{x}\cdot\frac{1}{x^2} -\frac{1}{x^2}$$

y una vez,

$$\lim_{x\to 0} \frac {\tan x}{x}=1$$

su límite es $$1\cdot\infty - \infty=\infty - \infty$$ which is not $0$.

Answer 3

Uno sólo puede aplicar la regla $$\lim_{x\to a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a} g(x) $$

si la expresión de la derecha es definido. En su caso, da $+\infty - (+\infty)$ que está en forma indeterminada (no definido). Por lo tanto, usted debe tratar otro método de la división.

Answer 4

Hay dos errores que dependiendo de cómo se están tratando de resolver. Si usted escribe $$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} = \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x^{3}} - \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}}\tag{1}$$, a continuación, usted está violando las leyes del álgebra de límites. El paso anterior es válido sólo cuando al menos uno de los límites en el derecho existe (y es finito).

Por otro lado, si usted escribe $$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} = \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}\tag{2}$$ then this step is fine. There is no split of limits. Only the expression has been manipulated according to the laws of algebra. Next we can write this as $$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}\cdot\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\tag{3}$$ and there is no problem till this point. The mistake is committed when we replace the sub-expression $(\tan x)/x$ with its limit $1$ to get $$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0\tag{4}$$ Esto no es permitido a través de cualquiera de las reglas de límites. Por favor, consulte esta respuesta para más detalles sobre el momento de una sub-expresión puede ser reemplazado por su límite al evaluar el límite de una complicada expresión.

También tenga en cuenta que no hay ningún problema como $\infty - \infty$ aquí, ya que otros usuarios lo que indica. La ecuación de $(4)$ es correcta. Lo que es incorrecto es la transición de la ecuación de $(3)$ a de la ecuación de $(4)$.