Muy fea integral de la $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\operatorname{sign}(x)\arctan(x^2)-|x|}{\sin^2(x)+|\cos(x)|}\,dx$

Question

Evaluar: $\DeclareMathOperator{\sign}{sign}$ $$\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{\sign(x)\arctan(x^2)-|x|}{\sin^2(x)+|\cos(x)|}\,dx$$

Mi idea:

\begin{align*}I=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sign(x)\arctan(x^2)-|x|}{\sin^2(x)+|\cos(x)| }\,dx &=\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{\sign(-x)\arctan((-x)^2)-|-x|}{\sin^2(x)+|\cos(x)|}\,dx\\ &=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{-\sign(x)\arctan(x^2)-|x|}{ \sin^2(x)+|\cos(x)| }\,dx. \end{align*}

Por lo tanto, significa que la integral de la $$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sign(x)\arctan(x^2)}{\sin^2(x)+|\cos(x)| }\,dx=0.$$

Por lo tanto, mis integral ahora parece

$$I=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{-|x|}{\sin^2(x)+|\cos(x)|}\,dx,$$

y desde mi integrando es función par, tengo:

$$I=-2\int_{0}^{\pi} \frac{|x|}{ \sin^2(x)+|\cos(x)| }\,dx=-2\int_{0}^{\pi} \frac{x}{ \sin^2(x)+|\cos(x)| }\,dx.$$

Y así, \begin{align*} \frac{I}{2}&=-\int_{0}^{\pi} \frac{x}{ \sin^2(x)+|\cos(x)| }\,dx\\ &=-\int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{ \sin^2(\pi-x)+|\cos(\pi-x)|}\,dx\\ &=-\pi\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{ \sin^2(x)+|\cos(x)|}+\int_{0}^{\pi} \frac{x}{ \sin^2(x)+|\cos(x)| }\,dx\\ &=-\pi\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{ \sin^2(x)+|\cos(x)| }-\frac{I}{2}. \end{align*}

Por lo tanto, $$I=-\pi\int_{0}^{\pi} \dfrac{dx}{ \sin^2(x)+|\cos(x)| }.$$

Que es el final de la carretera. He intentado eliminar el valor absoluto sobre el coseno pero siempre aparece algunos divergentes integral. Es este cálculo correcto y si es así, ¿qué es lo siguiente? Pregunta extra: ¿Dónde puedo encontrar más problemas como este?

Answer 1

Yo no puedo tomar todo el crédito por este, Wolfram puede ser muy útil cuando se sabe cómo coaxial a lo largo de.

Para la integral

$$\int{dx\over\sin^2x+\cos x},$$

vamos

\begin{align*} u &= \tan\left(\frac{x}{2}\right)\\ du &= \frac{1}{2}\sec^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\,dx. \end{align*}

Entonces tenemos \begin{align*} \sin x &= \frac{2\sin x}{1 +\cos x}\cdot \frac{1+\cos x}{2} = \frac{2\tan^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sec^{2}\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2\tan^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}{\tan^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+1}=\frac{2u^{2}}{u^{2}+1}\\ \cos x&= \frac{2\cos x}{1+\cos x}\cdot\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1+\cos x - 1 + \cos x}{(1+\cos x)\sec^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1-\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}{\sec^{2} x}= \frac{1-u^{2}}{u^{2}+1}\\ dx &= \frac{2\,du}{u^{2}+1}. \end{align*}

La integral se convierte entonces en \begin{align*} 2\int \frac{du}{(u^{2}+1)\left[\frac{4u^{2}}{(u^{2}+1)^{2}}+\frac{1-u^{2}}{u^{2}+1}\right]} &=-2\int\frac{u^{2}+1}{u^{4}-4u^{2}-1}\,du\\ &=-2\int\frac{u^{2}+1}{\left(u^{2}-\sqrt{5}-2\right)\left(u^{2}+\sqrt{5}-2\right)}\,du. \end{align*}

A continuación, podemos utilizar una fracción parcial de la descomposición, que voy a omitir, cambiar la integral a \begin{align*} -\int\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}\left(u^{2}+\sqrt{5}-2\right)}\,du -\int\frac{-3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}\left(-u^{2}+\sqrt{5}+2\right)}\,du, \end{align*}

que se convierte en \begin{align*}\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\int\frac{du}{u^{2}+\sqrt{5}-2} + \frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\int\frac{du}{-u^{2} + \sqrt{5} +2}. \end{align*}

Podemos reescribir esto como $$\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}\int\frac{du}{1+\left(\frac{u}{\sqrt{\sqrt{5}-2}}\right)^{2}}+\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}(\sqrt{5}+2)}\int\frac{du}{1-\left(\frac{u}{\sqrt{\sqrt{5}+2}}\right)^{2}}. $$

Esto se convierte entonces en

$$\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{\sqrt{5}-2}}\tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{\sqrt{5}-2}}\right)+\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{\sqrt{5}+2}}\tanh^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{\sqrt{5}+2}}\right)+C, $$

o la sustitución de la espalda

$$\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{\sqrt{5}-2}}\tan^{-1}\left(\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{\sqrt{5}-2}}\right)+\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{\sqrt{5}+2}}\tanh^{-1}\left(\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{\sqrt{5}+2}}\right)+C.$$

Ya que esta expresión se desvanece en $x=0$, su integral está dada por

$$-2\pi\left(\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{\sqrt{5}-2}}\tan^{-1}\left(\frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{\sqrt{5}-2}}\right)+\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{\sqrt{5}+2}}\tanh^{-1}\left(\frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{\sqrt{5}+2}}\right)\right)\approx -8.734.$$

Answer 2

Tomando nota de $$ \int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sin^2x+\cos x}dx=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^2x+\sin x}dx=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1-\sin^2x+\sin x}dx $$ y el uso de $u=\tan(\frac{x}{2})$, uno tiene \begin{eqnarray} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{1-\sin^2x+\sin x}dx&=&\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1-(\frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})})^2+\frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}}dx\\ &=&\int_0^1\frac{1}{1-(\frac{2u}{1+u^2})^2+\frac{2u}{1+u^2}}\frac{2du}{1+u^2}\\ &=&\int_0^1\frac{u^2+1}{u^4+2u^3-2u^2+2u+1}du\\ &=&\int_0^1\frac{u^2+1}{[(u-\phi)^2+\phi][(u+\frac1\phi)^2-\frac1\phi]}du \end{eqnarray} Aquí $\phi=\frac{-1+\sqrt5}{2}$. Tomando nota de $$ \frac{u^2+1}{[(u-\phi)^2+\phi][(u+1/\phi)^2-1/\phi]}=-\frac{\phi}{\sqrt5}\frac{1}{(u-\phi)^2+\phi}+\frac{1}{\sqrt5\phi}\frac{1}{(u+\frac1\phi)^2-\frac1\phi} $$ uno tiene \begin{eqnarray} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{1-\sin^2x+\sin x}dx &=&\int_0^1\frac{u^2+1}{[(u-\phi)^2+\phi][(u+\frac1\phi)^2-\frac1\phi]}du\\ &=&-\frac{\phi}{\sqrt5}\int_0^1\frac{1}{(u-\phi)^2+\phi}du+\frac{1}{\sqrt5\phi}\int_0^1\frac{1}{(u+\frac1\phi)^2-\frac1\phi}du\\ &=&-\frac{\sqrt\phi}{\sqrt5}\bigg[\arctan(\frac{u-\phi}{\sqrt\phi})-\text{arctanh}(\frac{1+u\phi}{\sqrt\phi})\bigg]\bigg|_0^1\\ &=&-\frac{\sqrt\phi}{\sqrt5}\bigg[\arctan(\frac{1-\phi}{\sqrt\phi})+\arctan\sqrt\phi-\text{arctanh}(\frac{1}{\phi\sqrt\phi})+\text{arctanh}\sqrt\phi\bigg]. \end{eqnarray}

Answer 3

Usted ha hecho la mayor parte del problema. Yo no puedo resolver la última integral, pero creo que puedo ofrecer una solución aproximada. Tomemos $f(x) = \sin^2 x + |cos x|$. Los gráficos de $|\cos x|$ $\cos^2 x$ están bastante cerca. Por lo $f(x)$ siempre estará muy cerca de $1$. Ahora, para encontrar los máximos y mínimos valores de la función, sólo hay que mirar a una parte donde $\cos x$ es positivo. Para encontrar los máximos y mínimos, entonces,

$ 2\sin x\cos x - \sin x = 0 \implica \sen x = 0 \text{ o } \cos x = \frac12. $

Por lo tanto, $\min f = 1$$\max f = \frac54$. Estamos interesados en la integral de $g(x) = \frac{1}{f(x)}$. Claramente $g$ oscila entre el$\frac45$$1$. Los valores que se están bastante cerca, nos vamos a aproximar $g(x)$ como una función constante $g(x) = \frac12 \left( \frac45 + 1\right) = \frac9{10}$.

Por lo tanto, $I \approx -\pi \int_0^\pi \frac9{10} dx = -\frac{9}{10}\pi^2$.