¿Por qué la mayoría de las operaciones de tratamiento de la $dy/dx$ como una relación de las obras?

Question

Todos sabemos que desde $\textrm{d}y$ $\textrm{d}x$ no son números, no podemos tratar a $\frac{dy}{dx}$ como proporción. Sin embargo, en diversas operaciones, este tratamiento parece funcionar. He escogido un par de ejemplos:

• Regla De La Cadena: $$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}$$
• Separación Variable: $$ \frac{dy}{dx} = f(x)h(y)$$ $$\frac{dy}{h(y)} = f(x)dx$$
• Integral de la $\frac{dy}{dx}$: $$ \int \frac{dy}{dx}dx = \int dy = y$$ Y también hay algunos ejemplos de que este tratamiento no funciona: $$\frac{dy}{dx} = - \frac{\partial F / \partial y}{\partial F / \partial x}$$ Donde el signo negativo muestra que este es un contraejemplo. Ahora, si esto no es correcto, ¿por qué no funciona para la mayoría de los casos? Y, si funciona para la mayoría de los casos, ¿por qué hay un par de casos que no funcione? Gracias.

Referencias

1) la Respuesta de asmeurer en Es $\frac{dy}{dx}$ no una relación?

Answer 1

Cuando Leibniz diseñado la notación estaba pensando en $\frac {dy}{dx}$ como una relación de infinitesimals. Pero, los analistas del siglo 18 eran incapaces de desarrollar esto en una rigurosa teoría, y infinitesimals fueron reemplazados por los límites.

Y $\frac {dy}{dx}$ ya no es una relación.

Sin embargo, funciona como un ratio de casi todos los elementales de cálculo.

Cuando usted consigue cálculo multivariable y diferenciación parcial, el pensamiento de la diferencia de operador como una relación realmente empieza a romperse.

el total de derivados: $\frac {d}{dt} f(u,v) = \frac {\partial f}{\partial u} \frac {du}{dt} + \frac {\partial f}{\partial v} \frac {dv}{dt}$

Y como la matemática se vuelve cada vez más avanzado el operador diferencial se comporta menos y menos como una proporción.

Answer 2

Tenga en cuenta, que en el contraejemplo que usted dio, $F$ es una función de $y$$x$. Por lo tanto, $\frac{\partial F}{\partial y}$ es una abreviación de $\lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x,y+h) - F(x,y)}{h}$ lo cual es muy diferente a $\lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x+h,y) - F(x,y)}{h}$.

Por esta razón, usted no puede cancelar $\partial F$ uno contra el otro, por lo tanto:

$$\frac{\partial F/ \partial y }{\partial F/ \partial x} \neq \frac{\partial x}{\partial y}$$

Answer 3

He aquí un buen ejemplo: Considere la ecuación de $xyz=1.$

$$\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} = -1,$$

aunque la cancelación de los diferenciales sugiere lo contrario.

Answer 4

No hay una respuesta simple: $y'(x)$ es, de hecho, aproximadamente igual a $\Delta y/\Delta x$ donde $\Delta x$ es extremadamente pequeña (pero finito) el cambio en el valor de $x$ $\Delta y$ es el cambio correspondiente en el valor de $y$. La mayoría de los informales derivaciones de participación de los "infinitesimals" $dx$ $dy$ fácilmente puede ser reformulado en términos de$\Delta x$$\Delta y$, con los iguales signos reemplazado por $\approx$ signos. Esto sólo demuestra que la ecuación se deriva es aproximadamente cierto, pero parece plausible que usted puede hacer la aproximación tan buena como la que te gusta por el uso de una lo suficientemente pequeño valor de $\Delta x$. Si es así, entonces se deduce que la ecuación derivada debe sostener con la exacta igualdad.

("Parece plausible" paso es donde estamos propensos a meterse en problemas si no tenemos cuidado.)

Answer 5

$\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}y$ no son números, sino que son diferenciales. Y las diferencias se puede multiplicar por escalares.

Y si $\mathrm{d}x$ es nonsingular ($x$ ser un llamado de la "variable independiente" garantías de este), y luego si $z \, \mathrm{d}x = \mathrm{d} y $ tiene alguna solución para $z$, tiene una solución única.

Y así, $z$ realmente es la relación de $\mathrm{d}y$$\mathrm{d}x$, y tiene sentido decir $z = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$.

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La notación habitual para la diferenciación parcial es... malo. Derivadas parciales no son como las proporciones en todos. No tratarlos como proporciones.

Con más precisión, las derivadas parciales sólo se convierten en relaciones de después de hacer un montón de modificaciones a la fórmula diferenciada... y la notación no te dicen qué precisamente esas modificaciones se supone que; usted tiene que deducir del contexto.

Por ejemplo, si el diferencial de algunos bivariante fórmula es

$$ \mathrm{d}F(x,y) = g(x,y) \mathrm{d} x + h(x,y) \mathrm{d} y $$

entonces cuál es la notación $\partial F(x,y) / \partial x$ significa:

• Primera inferir que uno de los medios a $x$ $y$ como "independiente" de las variables.
• Restringir el acceso de todos los "independientes" variables otros de $x$ a ser constante, en particular, ha $\mathrm{d}y = 0$.
• Simplificar la ecuación de a $\mathrm{d}F(x,y) = g(x,y) \mathrm{d} x$.
• Ahora, realmente existe una relación entre los dos diferenciales. Definir $\partial F(x,y)/\partial x = g(x,y)$ a ser esa relación.

En realidad, en lugar de los dos últimos pasos, es más exacto decir que el $\partial / \partial x$ significa que para obtener adicionalmente se aplican a $\mathrm{d}F(x,y)$ la transformación de $\mathrm{d}x \mapsto 1$ junto $\mathrm{d}y \mapsto 0$, pero quería darle una descripción que en la mayoría de los asemejaba a una relación.