¿Realmente necesitamos símbolos constantes en las teorías de primer orden?

Question

¿Son los símbolos constantes realmente necesarios en las teorías de primer orden? Y no estoy hablando de reemplazarlos con predicados unarios como aquí pero en su lugar me gustaría eliminar cualquier signo de su existencia del lenguaje y sólo insinuar su existencia usando los axiomas.

Tomemos por ejemplo los axiomas de Peano. Es el símbolo del cero $0$ realmente necesario? Supongamos que $\varphi(x)$ es un predicado unario y $\varphi(0)$ es un axioma de PA que contiene el símbolo del cero. ¿No podría reemplazarlo por el siguiente axioma?

$$(\exists x)\varphi(x) \quad\wedge\quad (\forall x \forall y)[\varphi(x)\wedge\varphi(y)\rightarrow x=y].$$

La primera parte establece que hay un individuo que satisface este predicado, la segunda parte establece que es único. Puedo pensar en formas de generalizar esto a varios e incluso a muchos símbolos constantes.

Si se trata de la simplicidad, entonces ¿por qué el ZFC no utiliza un símbolo constante para el conjunto vacío? ¿Sólo por razones históricas?

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He publicado preguntas de seguimiento aquí y aquí .

Answer 1

El truco que esbozaste en la pregunta tiene algunos inconvenientes como ya muestra el ejemplo de los números naturales: considera las dos fórmulas $$\varphi_1(z) \equiv \forall x\ s(x) \ne z$$ $$\varphi_2(z) \equiv \forall x\ x+z = x$$ sabemos que $\{\varphi_1(0),\varphi_2(0)\}$ es una subteoría de la PA, si tratas de reemplazar estos dos axiomas de la manera que describiste, obtienes la teoría con axiomas $$\exists z\ \varphi_1(x) \land \forall y\ \varphi_1(y) \rightarrow y=z$$ $$\exists z\ \varphi_2(x) \land \forall y\ \varphi_1(y) \rightarrow y=z$$ que no es equivalente a la anterior, eso es porque se podrían tener modelos de esta teoría con dos elementos distintos que satisfagan por separado los dos axiomas.

Podrías resolver este problema tomando el axioma $$\exists z \varphi_1(z) \land \varphi_2(z) \land \dots$$ pero esto no ayuda cuando tienes infinitas fórmulas $\varphi_i(z)$ .

Aunque no tengo una prueba por el momento, me temo que no se pueden eliminar las constantes del lenguaje a menos que se añadan al lenguaje símbolos unario-predicados con algunos axiomas que permitan obtener una teoría equivalente.

Por otro lado las constantes son increíblemente útiles porque permiten construir las teorías de Henkin que son teorías $T$ es tal que para cada fórmula $\varphi(x)$ si $T \vdash \exists \varphi(x)$ entonces hay una constante $c$ de tal manera que $T \vdash \varphi(c)$ .

Estas teorías son el instrumento clave para probar el teorema de la integridad: de hecho, es fácil demostrar que para una teoría coherente de Henkin el modelo de términos, es decir, la estructura construida a partir de los términos cotizados hasta una igualdad demostrable, es en realidad un modelo de la teoría.

Pero eso no es todo, muchas construcciones en la teoría de modelos hacen uso de constantes. Por ejemplo, para cada estructura $M$ en un idioma determinado $L$ es posible definir el diagrama elemental que es una teoría en un idioma $L'$ obtenido por $L$ añadiendo una constante para cada elemento en $M$ los modelos de esta teoría son básicamente los mismos que los de la extensiones elementales de $M$ .

Hay otras aplicaciones de las constantes dentro de la lógica, pero espero que estos ejemplos le hayan dado una idea de por qué las constantes materia.

Answer 2

Las constantes afectan a las propiedades teóricas del modelo de las teorías. Hay muchos ejemplos de esto, por dar uno simple:

Usted dice por ejemplo que las estructuras (o sus teorías) $$(\mathbb{N},<,0)$$ y $$(\mathbb{N},<)$$ son similares. Pero el conjunto $(\{1,2,\cdots\},<)$ es una subestructura del segundo modelo, pero no una subestructura del primero.

Otro ejemplo se da en la teoría de los anillos, a menudo se requieren homomorfismos para preservar el elemento unitario, esto es sólo el caso (en general) si $1$ se incluye como una constante.