El $j$-invariante de mi donut

Question

Tengo un donut. Su límite es una superficie de dos dimensiones incrustado en el espacio tridimensional, y seguramente es homeomórficos a un toro. Si fijamos una métrica de Riemann en el espacio, que induce a una de las dos dimensiones de la métrica de Riemann en el donut. Olvidar la escala, se obtiene una conformación de la estructura en la superficie. Si fijamos una orientación, de esta forma se define una estructura compleja.

Superficies complejas homeomórficos a un toro se clasifican por su $j$-invariante. Por lo tanto, me gustaría calcular el $j$-invariante de mi donut. Hay varias variantes de esta pregunta:

1. Supongamos que mi donut se basa en coordenadas cilíndricas $(r,z,\theta)$ por la ecuación de $(r-1)^2 + z^2=\rho^2$. ¿Cuál es el $j$-invariante como una función de la $\rho$?

2. Encontrar un real, real donut, y un aproximado por una superficie de este formulario. Estimación de $\rho$ y así estimar su $j$-invariante.

3. Determinar cómo su donut difiere de este modelo, y estimar en qué dirección que podría cambiar su $j$-invariante. O resolver un modelo diferente que se adapte a su donut.

Yo sería feliz de ver los avances en cualquiera de estos de vital importancia a los problemas, que sin duda estarán de acuerdo tienen muchas fructífera aplicaciones de las matemáticas y de nuestra vida diaria.

Answer 1

Para $\rho\in (0,1)$, escribir $D_{\rho}$ para su donut $(r-1)^2 + z^2 = \rho^2$. Para $x\in\mathbb{R}$, definir $$ q_\rho(x):=2\sqrt{1-\rho^2}\tan\left(\frac{x\sqrt{1-\rho^2}}{2\rho}\right)-\rho. $$ Definimos una parametrización de $D_\rho$: $$ \begin{align*} f_{\rho}:\mathbb{C}&\to D_{\rho}\\ x+iy&\mapsto \left(1+\rho\frac{2 q_\rho(x)}{1+q_\rho(x)^2},\rho\frac{1-q_\rho(x)^2}{1+q_\rho(x)^2},y\right). \end{align*} $$ Aquí se escribe la imagen en $(r,z,\theta)$ coordenadas. Tenga en cuenta que esta función está definida incluso donde $q_\rho(y)$ tiene polos. Es sencillo pero tedioso para comprobar que $f_\rho$ es de conformación. Si escribimos $r(x)$, $z(x)$ para el $r$ - $z$- coordenadas, esto equivale a la identidad $$ r'(x)^2+z'(x)^2=r(x)^2. $$ He utilizado un CAS para encontrar la fórmula para $f_\rho$.

A partir de la fórmula, vemos que $f_{\rho}$ es doblemente periódica, con los períodos mínimos $2\pi i$$2\pi\rho/\sqrt{1-\rho^2}$. Por lo tanto $D_\rho$ es conformemente equivalente al toro $$ \frac{\mathbb{C}}{\mathbb{Z}+\frac{\sqrt{1-\rho^2}}{\rho}\mathbb{Z}}. $$ Escribir $j(\tau)$ $j$- función, que se lleva a $\tau$ en la mitad superior del plano a la $j$-invariante de $\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\tau\mathbb{Z})$. El $j$-invariante de $D_{\rho}$ es entonces $$ j\left(i\frac{\sqrt{1-\rho^2}}{\rho}\right). $$

No tengo un donut en frente de mí, pero el internet sugiere que un Krispy Kream original vidriada ha exterior diámetro $3.5''$ y el ancho del borde del agujero $1.4''$. La escala, esto le da el valor de $\rho=\frac{2}{3}$. Salvia proporciona la estimación $$ j\aprox 2060.94946856905. $$