Espectáculo $\int_{1}^{t_1t_2}\frac{1}{x}dx=\int_1^{t_1}\frac{1}{x}dx+\int_1^{t_2}\frac{1}{x}dx$ sin el uso de $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+c$.

Question

Mostrar que $$\int_{1}^{t_1t_2}\frac{1}{x}dx=\int_1^{t_1}\frac{1}{x}dx+\int_1^{t_2}\frac{1}{x}dx$$

sin usar

$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+c$$

Answer 1

Tenemos que

$$\int_1^{t_1 t_2} \frac 1 x \, dx = \int_1^{t_1} \frac{1}{x} \, dx +\int_{t_1}^{t_1t_2} \frac{1}{x} \, dx. $$

Ahora, ¿qué pasa con $$\int_a^b \frac 1 x \, dx$$ when you do a $u$ substitution of the form $u=cx$? Do such a $u$sustitución de la tercera integral en la línea de arriba.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: yo volvería a decir de Aarón prueba es más sencillo, pero...aquí va de todos modos.

Definir $$F(t)=\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx$$ Deje $\nabla$ ser el gradiente de operador definido por, $\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial t_1},\frac{\partial u}{\partial t_2})$ donde estamos viendo el $t_1$ $t_2$ como $(t_1,t_2)$ coordenadas Cartesianas (creo $x$ $y$ si te gustaría). Entonces tenemos $$\nabla F(t_1 t_2)=\bigg(\frac{\partial}{\partial t_1}F(t_1 t_2),\frac{\partial}{\partial t_2}F(t_1 t_2)\bigg)=\bigg(\frac{1}{t_1},\frac{1}{t_2}\bigg)$$ donde la segunda igualdad es fácilmente comprobable a través de la regla de la cadena (y el teorema fundamental del cálculo y la definición de $F$). Por otro lado, de forma similar a los cálculos a mostrar $$\nabla F(t_1)=\bigg(\frac{1}{t_1},0\bigg)$$ y $$\nabla F(t_2)=\bigg(0,\frac{1}{t_2}\bigg)$$ Entonces, tenemos \begin{align}\nabla F(t_1 t_2)=\nabla F(t_1)+\nabla F(t_2)&\Rightarrow \nabla (F(t_1 t_2)-F(t_1)-F(t_2))=0\\ &\Rightarrow F(t_1 t_2)-F(t_1)-F(t_2)=C\end{align} donde $C$ es una constante. Conectar $t_1=t_2=1$, podemos ver que $C=0$ y su demanda está probado.

Anteriormente, estamos esencialmente de visualización $F(t_1 t_2)$, $F(t_1)$ y $F(t_2)$ "diferentes" funciones definidas en el $(t_1,t_2)$ plano (es decir,$\mathbb{R}^2$) que acaba de pasar a satisfacer la relación anterior, debido a la relación entre sus gradientes.

Answer 3

Supongamos $t_1,t_2>0$.
Desde $\frac{dx}{x}$ es invariante con respecto a las sustituciones de la forma $x\mapsto \lambda x$, tenemos:

$$ \color{blue}{\int_{1}^{t_1}\frac{dx}{x}}+\color{green}{\int_{1}^{t_2}\frac{dx}{x}} = \color{blue}{\int_{1}^{t_1}\frac{dx}{x}}+\color{green}{\int_{t_1}^{t_2 t_2}\frac{dx}{x}} = \color{red}{\int_{1}^{t_1 t_2}\frac{dx}{x}} $$ sic et simpliciter.