Usando la inducción matemática necesito demostrar $$5^n=a_n^2 +b_n^2$$
Lo que he probado
P(1): $$5^1 = 1^2 +2^2$$ ¿Qué es verdad?
P(2): $$5^2 = 3^2 +4^2$$ Lo que también es cierto
Ahora la hipótesis de inducción
P(k): $$5^k=a_k^2+b_k^2$$
Entonces la pregunta sugiere demostrar para (k+2) lo cual supongo que sigue teniendo sentido.
P(k+2): $$5^{k+2} = 5^2 . 5^k$$ $$=(3^2 +4^2)(a_k^2+b_k^2)$$
Aquí es donde me atasco. Disculpas por el formato soy bastante nuevo en el sitio
Continuando con su inducción, suponiendo que $5^n=a_n^2+b_n^2$ multiplicando ambos lados por $5^2$ da $5^{n+2}=(5a_n)^2+(5b_n)^2$ . Así que $5^{n+2}$ es una suma de dos cuadrados si $5^{n}$ es. Sabemos que es para $n=2$ por lo que debe ser para $n=2+2=4$ etc. Por inducción, para todo par $n \geq 2$ tenemos que $5^n$ es una suma de dos cuadrados. También sabemos que $5^n$ es expresable como la suma de dos cuadrados para $n=1$ por lo que debe ser para $n=1+2=3$ y por inducción para todo impar $n \geq 1$ . Como un entero positivo es par o impar, hemos contabilizado todos los enteros positivos.
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$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2$
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Eso es lo que estaba buscando. Gracias.
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Por cierto, las sumas de dos cuadrados son precisamente aquellos números positivos en los que los primos $3$ mod $4$ aparecen sólo para potencias pares en la factorización de primos.