Deje $(\Omega, \cal{A}, \mathbb{P})$ ser un espacio de probabilidad y $X$ una variable aleatoria en $\Omega$. Supongamos, también, $f:\Omega\to\mathbb{R}$ ser un Borel función. Entonces:
$X$ $f(X)$ son independientes $\Longleftrightarrow$ existe alguna $t\in\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{P}[f(X)=t]=1$ $f(X)$ es un degenerado r.v.
La única cosa que podría hacer es que si $X$ $f(X)$ son independientes, entonces
$\mathbb{P}[f(X)\in B]=0$ o $1$ por cada subconjunto de Borel $\mathbb{R}$, ya que el $\sigma(f(X))\subseteq \sigma(X)$ y, por lo tanto, $f(X)$ es independiente de su auto. Supongamos, ahora, que $\mathbb{P}[f(X)\leq x]=0$ todos los $x\in\mathbb{R}$. Entonces:
$\mathbb{P}[f(X)\in\mathbb{R}]=\mathbb{P}[\bigcup_{n=0}^{\infty}[f(X)\leq n]]\leq\sum_{n=0}^{\infty}[f(X)\leq n]=0$ , lo que obviamente es una contradicción ya que el $\mathbb{P}[f(x)\in\mathbb{R}]=1$.
Sin embargo, no sé cómo probar esto y mi intento no es probable para convertirse en una solución completa.
Cualquier ayuda se agradece.
Gracias de antemano!