La compacidad de la Volterra opelator

Question

El operador de Volterra es dado como \begin{eqnarray} (Vf)(x)=\int_0^xK(x,y)f(y)\,{\rm d}y. \end{eqnarray}

Por el Arzelà–Ascoli teorema, $V\colon C^0[0,1]\rightarrow C^0[0,1]$ es compacto operador. Pero, si $V\colon C^0[0,1]\rightarrow C^1[0,1]$, se trata de una compacta de operador?

Answer 1

La regla de oro: la compacidad se debe esperar al $Tf$ es al menos un poco mejor que un elemento genérico de la meta de espacio. Integración en contra de una continua kernel lo hace porque se $Tf$ hereda el módulo de continuidad desde el núcleo, que es una mejora en comparación con tener totalmente desconocido módulo de continuidad.

Pero para la compacidad de$C^0$$C^1$, usted necesita una mejora mucho más: $Tf$ ahora debe ser mejor que un genérico $C^1$ función. Incluso con $K\equiv 1$ no llega a este: el rango de $T$ en este caso se compone de todos los $C^1$ funciones de fuga en $0$. Y puesto que el $C^1$ norma de $Tf$ incluye el supremum de derivados, $T $ es en realidad la norma, conservando en este caso, por tanto, no compacto.