Determinante de la derivada de un mapa entre los colectores

Question

Ok, supongamos $M,N$ son de Riemann colectores e $F:M\to N$ es un buen mapa entre ellos. En un libro que tengo aquí consideran que $\dim M=m \geq \dim N=n$ y $x\in M$ es un habitual punto tal que la derivada $DF(x):T_x M\to T_{F(x)}N$ es surjective. Con estas condiciones, tenga en cuenta que $\ker DF(X)^\perp$ es isomorfo a $T_{F(x)}N$.

Hasta ahí todo bien, el problema viene cuando empiezan a hablar de que el factor determinante de la $DF(x)$. Hasta donde yo sé, hablamos de que el factor determinante en el contexto de las matrices. Así que aquí empezaron mis problemas, por $DF(x)$ es lineal en el mapa entre los espacios abstractos, no hay ninguna manera obvia de hacer $DF(x)$ en una matriz.

Después de una búsqueda en Google, tengo estas dos definiciones, que quería compartir aquí para asegurarse de que son válidos. Para la primera, afortunadamente, yo tenía algunos conocimientos de formas diferenciales, así que no me quedé tan confundido al verla.

Definición 1: dado cualquier base $(v_1,\ldots,v_n)$$\ker DF(x)^\perp$, definimos $$\det (DF(x)) = \frac{\omega(DF(x)v_1,\ldots,DF(x)v_n)}{\mu(v_1,\ldots,v_n)},$$ donde $\omega$ es la forma de volumen en $N$ $\mu$ es la forma de volumen en $M$.

La segunda definición se me dijo un amigo y no pude encontrar algo útil en Internet sobre ella.

Definición 2: deje $(\varphi, U)$ ser un sistema de coordenadas ortonormales en $x$ $(\psi, V)$ un sistema de coordenadas ortonormales en $F(x)$. A continuación, $\det (DF(x)) = \det \left(D\Phi(\varphi^{-1}(x))\right)$ donde $\Phi=\psi^{-1}\circ F\circ\varphi$.

Esta segunda definición tiene sentido, suponiendo que el factor determinante no depende de las cartas elegidas. De hecho, esta segunda definición es mejor, ya que reduce el problema al cálculo de un determinante de la matriz, que es algo familiar. Para ser claros, $\varphi$ es un mapa de $U\subset \mathbb{R}^m$ $M$ $\psi$es un mapa de$V\subset \mathbb{R}^n$$N$.

Tengo más de una pregunta, algunos de ellos probablemente encontrará fácil de respuesta (suponiendo que se utilizan para la Geometría de Riemann).

1) Esta es una terminología que se trate. En lugar de decir $(\varphi,U)$ es un sistema de coordenadas ortonormales, se podría decir que es un ortonormales gráfico ? Yo estoy pidiendo esto porque parece que es común utilizar el término gráficos, excepto cuando se dice que es ortogonal o ortonormales. En este caso encontré que la mayoría de la gente prefiere utilizar el término sistema de coordenadas.

2) Desde mi lectura, $(\varphi,U)$ es ortogonal (ortonormales) sistema de coordenadas (o gráfico?) al $\left(\frac{\partial}{\partial x_1}|_x,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_m}|_x\right)$ es ortogonal (ortonormales) base para $T_xM$. Es mi entendimiento correcto?

3) Las definiciones 1 y 2 son realmente equivalentes? Tengo un poco sospechoso acerca del uso de "ortonormales" en la definición 2. Tal vez podría ser "ortogonal", no sé.

PS: las preguntas 1 y 2 son importantes, pero son los detalles técnicos necesarios para la pregunta 3. La última pregunta es la más importante de todas.

Answer 1

De ambas definiciones se sugieren no compilar:

1. La forma de volumen $\omega$ $M$ come $m$ vectores tangente en cada punto. Cómo alimentar solo con $n$ vectores?
2. La matriz $D\Phi(\varphi^{-1}(x))$ $n \times m$ matriz. ¿Cómo se define el determinante de una no-bloque de la matriz?

Con el fin de aclarar las cosas, permítanme discutir primero el álgebra lineal pertinentes para su pregunta. El punto principal es que no existe el concepto de determinante de una lineal mapa entre dos espacios vectoriales de dimensiones diferentes y no existe el concepto de determinante de una lineal mapa entre dos diferentes espacios vectoriales de la misma dimensión, sin la opción de elegir un extra de datos.

Si $T \colon V \rightarrow V$ es un operador lineal en un número finito de dimensiones de espacio vectorial (de forma que el dominio y codominio son el mismo), puede definir $\det(T)$ por la elección de una base $\mathcal{B}$ $V$ y la definición de $\det(T) := \det([T]_{\mathcal{B}})$ donde $[T]_{\mathcal{B}} \in M_n(\mathbb{F})$ es la matriz cuadrada que representa el operador $T$ con respecto a la base $\mathcal{B}$. Esta definición utiliza una base, pero es, de hecho, independiente de la base trabajamos con $$\det([T]_{\mathcal{B}'}) = \det(P^{-1} [T]_{\mathcal{B}} P) = \det([T]_{\mathcal{B}}) $$ donde $P$ es la matriz de cambio de base $P =[\operatorname{id}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B'}}$.

Si $T \colon V \rightarrow W$ es lineal en el mapa entre dos espacios vectoriales de la misma (finito) de dimensión, puede probar y definir $\det(T)$ representando $T$ como una matriz. Sin embargo, para representar a $T$ como una matriz que usted necesita para recoger a dos diferentes bases de $\mathcal{B}$ $V$ $\mathcal{C}$ $W$ e si $\mathcal{B}', \mathcal{C}'$ son de otras bases, hemos

$$ [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = [\operatorname{id}]^{\mathcal{C}'}_{\mathcal{C}}[T]^{\mathcal{B}'}_{\mathcal{C}'} [\operatorname{id}]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}'}$$

así que no hay razón por la que $\det([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}) = \det([T]^{\mathcal{B}'}_{\mathcal{C}'})$.

Para salvar la situación, debemos volver para el caso de $T \colon V \rightarrow V$ y reinterpretar $\det(T)$ de manera diferente. Si $V = \mathbb{R}^n$, el escalares $\det(T)$ es el firmado factor por el cual se $T$ ajusta el volumen de un $n$-dimensiones parallelotope. En un espacio vectorial abstracto $V$, no tenemos natural de la noción de (firmado) el volumen de una $n$-dimensiones parallelotope. Tal noción es proporcionada por una elección de una forma de volumen $0 \neq \omega_V \in \Lambda^{\text{top}}(V^{*})$. Dada esta forma de volumen, podemos definir a la $\det(T)$ como los únicos escalares tales que $T^{*}(\omega_V) = \det(T) \omega_V$ y lo bueno es que esta definición es en realidad independiente de la forma de volumen!

Finalmente, para definir una noción de determinante para un mapa de $T \colon V \rightarrow W$, podemos equipar $V$ $W$ volumen $\omega_V \in \Lambda^{\text{top}}(V^{*})$ $\omega_W \in \Lambda^{\text{top}}(W^{*})$ y definen $\det(T)$ por la ecuación de $T^{*}(\omega_W) = \det(T) \omega_V$. Esta definición depende tanto de $\omega_V$$\omega_W$.

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Ahora suponga $(V, g_V)$ es un producto interior en el espacio. Aunque proporciona datos adicionales, aún no hay volumen natural de forma que se define en $V$. Con el fin de definir de una forma natural, usted necesita escoger una orientación para $V$ (y equivalencia de la clase $\mathfrak{o}_V$ de los elementos de $\Lambda^{\operatorname{top}}(V)$ o $\Lambda^{\operatorname{top}}(V^{*})$ dependiendo de sus definiciones). Una vez elegido, no hay una única forma de volumen $\omega_{g_V,\mathfrak{o}_V}$ que se comporta muy bien con la métrica y la orientación (este es precisamente el de Riemann forma de volumen). Se determina por el hecho de que si $(e_1, \dots, e_n)$ es un positivo ortonormales base de $V$$\omega_{g_V,\mathfrak{o}_V}(e_1 \wedge \dots \wedge e_n) = 1$.

En su situación tiene un surjective lineal mapa de $T \colon (V, g_V, \mathfrak{o}_V,\omega_V) \rightarrow (W, g_W, \mathfrak{o}_V,\omega_W)$$\dim V = m, \dim W = n$. El mapa de $T|_{(\ker T)^{\perp}} \colon (\ker T)^{\perp} \rightarrow W$ es lineal en el mapa entre dos espacios vectoriales de la misma dimensión y así podemos intentar darle sentido a $\det \left( T|_{(\ker T)^{\perp}} \right)$. El lado derecho tiene por supuesto una forma de volumen, pero el lado izquierdo es sólo un subespacio de un espacio que tiene una forma de volumen. En general, un subespacio de un espacio con un volumen de forma no obtiene una forma de volumen, sino $(\ker L)^{\perp}$ tiene un producto interior (la restricción de $g_V$) y podemos darle una orientación en el mapa de la $T$ y estas dos estructuras dotar $(\ker T)^{\perp}$ con una orientación y que nos permiten hablar de la determinante.

Finalmente, podemos ofrecer versiones corregidas de sus definiciones para $\det T$:

1. Si $v_1, \dots, v_n$ es una base de $( \ker T)^{\perp})$ tal que $Tv_1, \dots, Tv_n$ es un positivo de la base de $W$, completar a un positivo de base $v_1, \dots, v_n, u_1, \dots, u_{m-n}$ $V$ y, a continuación, $$ \det \left( T|_{(\ker T)^{\perp}} \right) = \frac{\omega_W(Tv_1, \dots, Tv_n)}{\omega_V(v_1, \dots, v_n, u_1, \dots, u_{m-n})}. $$
2. Si $\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_n)$ es una base ortonormales de $( \ker T)^{\perp})$ tal que $Tv_1, \dots, Tv_n$ es un positivo de la base de $W$ $\mathcal{C} = (w_1, \dots, w_m)$ es un positivo ortonormales base de $W$$\det \left( T|_{(\ker T)^{\perp}} \right) = \det(\left[ T|_{(\ker T)^{\perp}} \right]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}})$.

Yo voy a dejar a usted para comprobar que las definiciones son equivalentes y coherente con lo que he descrito antes.

Answer 2

Mi mal. Estoy totalmente malinterpretado tu original confusión, pero creo que lo tengo ahora (me he quitado mis posts anteriores). Así que el gráfico es un subconjunto $U\subset M$ y un homeomorphism $\varphi$ a un conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$. Para determinar la ubicación de $\varphi(p)\in \mathbb{R}^n$, necesitamos expresar en coordenadas $(x_1,...,x_n)$. En cada punto de $U$, la de coordinar las direcciones han de abarcar $\mathbb{R}^n\cong T_xM$. Estas son las $(\frac{\partial}{\partial x_1}|_x,...,\frac{\partial}{\partial x_n}|_x)$ de tu 2ª pregunta. Cuando estas instrucciones son ortogonales (ortonormales), nos dicen las coordenadas del gráfico es ortogonal (ortonormales).

Answer 3

Esto no es una respuesta completa, pero sólo en lo que estoy pensando, tal vez usted podría rellenar las lagunas.

El diferencial del mapa de $\Phi=\psi^{-1}\circ F\circ \varphi$ $n\times m$ matriz. Es el producto de la $n\times n$ matriz$D\psi^{-1}$, $n\times m$ matriz $DF$, y el $m\times m$ matriz $D\varphi$. Pero este mapa se desvanece en el $(m-n)-$dimensiones subespacio correspondiente a la preimagen de $\ker DF$$T_x\mathbb{R}^m\cong \mathbb{R}^m$. Así las cosas interesantes que sucede en un $\mathbb{R}^n$ sentado en el interior de $\mathbb{R}^m$ y podemos ver la composición como $$[D\Phi_|]_{n\times n}=[D\psi]^{-1}_{n\times n}[DF_|]_{n\times n}[D\varphi_|]_{n\times n}$$ and the determinant of this matrix makes sense. Then we can rewrite as $$[DF_|]=[D\psi][D\Phi_|][D\varphi_|]^{-1}$$ and we have $$\det(DF_|)=\frac{\det(D\psi)\det(D\Phi_|)}{\det(D\varphi_|)}.$$ a partir De aquí, yo un poco a ver el denominador de la primera definición; no estoy muy seguro sobre el numerador aunque.