La pregunta que tengo es más bien una curiosidad, y por eso he decidido publicar aquí en lugar de en Mathoverflow.
Antes de plantear la pregunta, permítanme establecer algunos antecedentes.
Antecedentes: Dejemos que $\Omega$ sea un álgebra booleana. A los efectos de este post, un medir $\nu$ en $\Omega$ es un mapa finitamente aditivo $\Omega\to A$ con valores en un espacio lineal $A$ . Si $A$ es un álgebra unital conmutativa, $\nu$ es multiplicativo o espectral si $\nu(E\cap F)= \nu(E)\nu(F)$ y $\nu(1)= 1$ . Denotaré por $\mathbf{A}(\Omega, V)$ el espacio lineal de $V$ -medidas sobre $\Omega$ y por $\mathbf{AS}(\Omega, A)$ el conjunto de medidas espectrales.
nota: el campo de los escalares es irrelevante; tome el campo real en aras de la determinación.
Teorema 1: El functor $V\mapsto \mathbf{A}(\Omega, V)$ es representable, es decir, existe un espacio lineal $S(\Omega)$ y un isomorfismo natural $\mathbf{A}(\Omega, V)\cong \mathbf{Vect}(S(\Omega), V)$ .
$S(\Omega)$ es el espacio de elementos simples . Denote por $\chi$ la medida universal $\Omega\to S(\Omega)$ y llamar a los elementos de la forma $\chi(E)$ característica .
nota: Por la dualidad de la piedra, $S(\Omega)$ es isomorfo al espacio lineal de las combinaciones lineales de las funciones características de los conjuntos cerrados del espacio de Stone de $\Omega$ . De ahí los apelativos de "elementos simples" y "elementos característicos". La dualidad de Stone necesita el teorema del ideal primo booleano.
Podemos introducir una estructura de álgebra unital conmutativa en $S(\Omega)$ por $\chi(E)\chi(F)= \chi(E\cap F)$ y luego extenderlo linealmente (o hacer malabares con la propiedad universal). $\chi$ es ahora espectral y, de hecho, la medida espectral universal.
Teorema 2: El functor $A\mapsto \mathbf{AS}(\Omega, A)$ es naturalmente isomorfo a $\mathbf{CAlg}(S(\Omega), A)$ .
De hecho, tenemos un functor $\mathbf{CAlg}\to \mathbf{Bool}$ que envía un álgebra unital conmutativa al álgebra booleana de sus idempotentes. Ahora es fácil ver que este functor es adjunto a la derecha de $S$ y, en particular, $S$ es cocontinuo.
El problema: Una aplicación sencilla del teorema del ideal primo booleano (BPI) implica que si $E\in \Omega$ es distinto de cero, entonces $\chi(E)$ también es distinto de cero. En particular, $S(\Omega)$ no es trivial ( $0\neq 1$ ). Por el contrario, no es difícil ver que si $1\neq 0$ entonces si $E\in \Omega$ es distinto de cero, entonces $\chi(E)$ es distinto de cero. Mi pregunta es si la no trivialidad de $S(\Omega)$ ¿se puede probar sin recurrir al BPI? Digamos, ¿en ZF solo? ¿ZF + P con algún P más débil que el IFS?
Nota: BPI es más débil que AC por un conocido resultado de Halpern y Levy.
Esto es lo que he conseguido hacer hasta ahora. El teorema 2 garantiza que mientras tengamos una medida espectral no trivial sobre $\Omega$ La no trivialidad de $S(\Omega)$ se retira. $S$ del álgebra booleana inicial (la no trivial constituida únicamente por los elementos inferiores y superiores) es el campo escalar, por tanto, si tenemos un ultrafiltro en $\Omega$ podemos demostrar que $S(\Omega)$ no es trivial. En particular, si $\Omega$ tiene aunque sea un solo átomo estamos acabados. Pero no sé cómo proceder en el caso de álgebras arbitrarias sin átomos. Si podemos factorizar algún morfismo en un álgebra booleana con un átomo no trivial $S$ entonces el problema también se resolvería, pero esto no es realmente un avance sobre la construcción de ultrafiltros directamente.
En este punto, y tras no conseguir la no trivialidad de $S(\Omega)$ sin BPI empecé a preguntarme si la no trivialidad de $S(\Omega)$ es realmente equivalente a BPI, pero lo único que he conseguido es reducir el problema de construir un morfismo de álgebra a partir de $S(\Omega)$ al campo real es decir, no mucho.
