Divergencia de la serie - calculo de Apostol Vol I, sección 10.20 #7

Question

Demostrar que $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac {(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} $ diverge.

Es fácil ver que esta absolutamente difiere, sin embargo, ¿cómo puede ser demostrado a divergir en general? La idea ya publicado en otro foro era del grupo de los términos en la secuencia de la siguiente manera:

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}=-\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}-1}-\frac 1 {\sqrt{2n}+1}\right)$$

y, a continuación, mostrar que esta secuencia se bifurca. Acabé consiguiendo una respuesta de ese foro (gracias!) sin embargo, dependía de los resultados de WolframAlpha que parece muy difícil de resolver a mano. Esta pregunta es de Apostol del Cálculo, escrito en 1969, así que me gustaría tener una solución que no depende de WolframAlpha.

Answer 1

Cómo acerca de $\left| \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} \right| \ge \frac{1}{\sqrt{n}+1}$, $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+1}$ diverge integral de la prueba ?

Agregado: Esta respuesta la segunda versión de la cuestión, a saber, mostrar que $\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}$ diverge. Como el OP ya mostró la suma puede escribirse como (observe que el límite inferior es $1$ e no $2$ como en el OP pregunta): $$ \mathcal{S} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{2n} + 1 } - \frac{1}{\sqrt{2n+1}-1}\right) $$ Expansión de la serie de los sumando al infinito: $$ \frac{1}{\sqrt{2n} + 1 } - \frac{1}{\sqrt{2n+1}-1} \sim -\frac{1}{n}+\frac{1}{4 \sqrt{2}} \frac{1}{n^{3/2}}+ O(n^{-2}) $$ sugiere que la serie diverge como la serie armónica. De hecho, tenga en cuenta que $$ \frac{1}{\sqrt{2n} + 1 } - \frac{1}{\sqrt{2n+1}-1} $$ es estrictamente creciente para $n\ge 1$, y por lo tanto la integral de la prueba se aplica, la que muestra la divergencia.

Answer 2

$\rm HINT \text{ }$: $\text {} \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \left (\frac {(-1) ^ n} {\sqrt{n}}-\frac {(-1) ^ n} {\sqrt {n} +(-1) ^ n} \right)= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n + (-1) ^ n \sqrt{n}}. $