Límite $(n - a_n)$ $a_{n+1} = \sqrt{n^2 - a_n}$ de la secuencia

Question

Considerar la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ definido recursivamente por $$a_{n+1} = \sqrt{n^2 - a_n}$$ with $ a_1 = 1$. Compute $% $ $\lim_{n\to\infty} (n-a_n)$

Estoy teniendo problemas con esto. No sé aún cómo mostrar el límite existe. Creo que si sabemos que el límite existe, es solo álgebra, pero no estoy seguro.

Answer 1

En primer lugar, mostraremos que $0 \le n-a_n \le 2$ todos los $n$. A continuación, vamos a mostrar que el $n-a_n \to \dfrac{3}{2}$$n \to \infty$.

Ya, $a_1 = 1$,$1-a_1 = 0$, lo $0 \le 1-a_1 \le 2$, como se desee.

Ahora, supongamos $0 \le n-a_n \le 2$ para algún entero positivo $n$. Entonces, tenemos:

$$\sqrt{n^2-n} \le \sqrt{n^2-a_n} \le \sqrt{n^2-n+2}$$

$$\sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}} \le a_{n+1} \le \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{7}{4}}$$

$$(n+1) - \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{7}{4}} \le (n+1)-a_{n+1} \le (n+1) - \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}}$$

$$\tfrac{3}{2} + (n-\tfrac{1}{2}) - \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{7}{4}} \le (n+1)-a_{n+1} \le \tfrac{3}{2} + (n-\tfrac{1}{2}) - \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}}$$

$$\dfrac{3}{2} - \dfrac{\tfrac{7}{4}}{(n-\tfrac{1}{2}) + \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{7}{4}}} \le (n+1)-a_{n+1} \le \dfrac{3}{2} + \dfrac{\tfrac{1}{4}}{(n-\tfrac{1}{2}) + \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}}}.$$

Para$n \ge 1$,$(n-\tfrac{1}{2}) + \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{7}{4}} \ge \tfrac{1}{2}+\sqrt{(\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{7}{4}} = \tfrac{1}{2}+\sqrt{2} \ge \tfrac{7}{6}$,

así como $(n-\tfrac{1}{2}) + \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}} \ge \tfrac{1}{2}+\sqrt{(\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}} = \tfrac{1}{2}$.

Por lo tanto, la última ecuación implica $0 \le (n+1)-a_{n+1} \le 2$.

Así que por inducción, $0 \le n-a_n \le 2$ para todos los enteros positivos $n$.

A continuación, mediante la repetición de la anterior álgebra, tenemos que $$\dfrac{3}{2} - \dfrac{\tfrac{7}{4}}{(n-\tfrac{1}{2}) + \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{7}{4}}} \le (n+1)-a_{n+1} \le \dfrac{3}{2} + \dfrac{\tfrac{1}{4}}{(n-\tfrac{1}{2}) + \sqrt{(n-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}}}$$ holds for all positive integers $$ n.

Utilizando el teorema del sándwich, obtenemos $\displaystyle\lim_{n \to \infty}[(n+1)-a_{n+1}] = \dfrac{3}{2}$, y por lo tanto, $\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-a_n) = \dfrac{3}{2}$.

Answer 2

Aquí está una respuesta breve que ilustra que la dificultad del problema reside en la delimitación del crecimiento de $a_n$. Todo lo que necesitamos es $a_n \sim n$, en el sentido $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} = 1.$ $ esto seguiría si supiéramos que limita por ejemplo, que $n - a_n$. De JimmyK sharp que $0 \le n - a_n \le 2$ resulta más que suficiente! Así que, de hecho, $a_n \sim n$. Desde aquí, mediante la diferencia de cuadrados, $$(n+1) - a_{n+1} = \frac{(n+1)^2 - (n^2 - a_n)}{(n+1) + a_{n+1}} = \frac{2n + 1 + a_n}{n + 1 + a_{n+1}} = \frac{2 + \frac{1}{n} + \frac{a_n}{n}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{a_{n+1}}{n}} \to \frac{2 + 0 + 1}{1 + 0 + 1} = \frac{3}{2}.$ $