¿De dónde surgió la respuesta negativa?

Question

La pregunta es evaluar $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$ $$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$$ $$x^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$$ $$x^2=2+x$$ $$x^2-x-2=0$$ $$(x-2)(x+1)=0$$ $$x=2,-1$$

debido a $x$ es positivo $x=2$ es la respuesta. pero ¿de dónde la $x=-1$?

Answer 1

$x=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}_{\text{$x$}}}$, con lo que conseguimos $x=\sqrt{2+x}$.

Ahora sólo hay una solución. Si nos cuadrado ambos lados, agregar el caso de $-x=\sqrt{2+x}$

Answer 2

Así, si se establece que el cuadrado de la raíz a las negativas (en lugar positivo por convención), el límite de la secuencia de $x = -\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-...}}}$$-1$. Así que por el cuadrado de obtener respuestas tanto de las posibles raíces cuadradas (el positivo y el negativo)

Answer 3

Elevando al cuadrado ambos lados, girar a una ecuación con una solución a una ecuación con dos soluciones; usted puede terminar creando una solución extraña. En este caso, se llega a descubrir que $-1$ satisface $x^2 = 2 + x$, pero no satisface $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}$, y así es extraña.

Answer 4

Es porque cuando usted tiene un $x=\sqrt{2+x}$, y suponiendo que usted está tratando de reales, usted sabe que $x>0$. Sin embargo, si usted tiene $$stuff=\sqrt{things}\implies stuff^2=|things|$$, Que es donde el valor negativo de surgir.

Answer 5

Hablando en general, cuando se manipula una ecuación por "hacer la misma cosa a ambos lados", todo lo que puedo decir es que si la ecuación original fue una declaración verdadera, entonces también lo es la nueva. Eso no siempre significa que la nueva ecuación contiene información suficiente para identificar una solución de la ecuación original!

En este ejemplo, $x$ es un número tal que $x = \sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}$. (Llegamos a saber esto significa que $x$ tiene que ser de 2.) Su conclusión es que el $x$ ser $2$ o $-1$: que es una declaración verdadera! Pero esto no significa que $-1$ es una solución de la ecuación original.

Como una analogía, supongamos que tengo una bolita en mi bolsillo, y me digo: "tengo un mármol o un rinoceronte en mi bolsillo." Luego me han hablado de verdad!

Por supuesto, en este caso, usted puede fácilmente verificar (como un paso adicional) que 2 es una solución del problema original y de $-1$ no lo es. Como usted sabe, $x$ debe ser $2$ o $-1$, todas las demás posibilidades se descartan, y así saber $x=2$ debe ser la única solución.

Otras manipulaciones puede resultar en declaraciones verdaderas que son incluso menos informativo. Supongamos, por ejemplo, que se multiplican ambos lados de la ecuación original por 0. Usted obtendrá la nueva ecuación de $0=0$. Que es sin duda una declaración verdadera, pero no es muy útil en la resolución del problema. Así que no era útil, la manipulación de hacer y probar algo diferente.