Suavidad de una función real-valued en $\mathbb{R}^n $

Question

Deje $$ f (x) = \begin{cases} \exp\left(\frac{-1}{1-|x|^2}\right), &\text{ if } |x| < 1, \\ 0, &\text{ if } |x|\geq 1. \end{casos} $$ Prove that $ f$ is infinitely differentiable everywhere. ($x$ belongs to $\mathbb{R}^n$ for fixed $n$.)

Bueno, esto es obvio para $|x|>1$ y fácil para la primera derivada en $|x|=1$, pero parece que no puedo utilizar la definición de la derivada de tartas para mostrar $|x|<1$. Cualquier consejo sería apreciado.

(Esto no es tarea).

Answer 1

Podemos demostrar por inducción que $$ \partial_ {\alpha} f (x) =\begin{cases} \frac{P_{\alpha}(x)}{(1-|x|^2)^{2|\alpha|}}\exp\left(\frac 1{|x|^2-1}\right)&\mbox{ if }|x|<1,\\\ 0&\mbox{ otherwise}, \end{casos} $$ donde $\alpha\in\mathbb N^n$ $P_{\alpha}$ es un polinomio. Es verdad $\alpha=0$ y si % también son diferenciable en $\alpha=e_k$ y $|x|<1$, $$\partial_{e_k}f(x)=-\exp\left(\frac 1{|x|^2-1}\right)\frac{2x_k}{(|x|^2-1)^2},$ $, que muestra que el $f$ $|x|=1$y $P_{e_k}(x)=-2x_k$. Si asumimos que la propiedad es verdad $|\alpha|\leq p$ y $|\alpha|=p+1$ entonces que $k$ tal que #% el %#% y poner $\alpha_k\neq 0$. Entonces $\alpha'=\alpha-e_k$ $|\alpha'|=p$ tenemos \begin{align*} \partial_{\alpha}P(x)&=\frac{\partial_{e_k}P_{\alpha'}(x)}{(1-|x|^2)^{2|\alpha'|}}\exp\left(\frac 1{|x|^2-1}\right)+\frac{P_{\alpha'}(x)(-2|\alpha'|-1)2x_k}{(1-|x|^2)^{2|\alpha'|+1}}\exp\left(\frac 1{|x|^2-1}\right)\\ &+\exp\left(\frac 1{|x|^2-1}\right)\frac{P_{\alpha'}(x)}{(1-|x|^2)^{2|\alpha'|}}\frac{2x_k}{(1-|x|^2)^2}\\ &=\exp\left(\frac 1{|x|^2-1}\right)\frac 1{(1-|x|^2)^{2|\alpha|}}\Big(\partial_{e_k}P_{\alpha'}(x)(1-|x|^2)^2\\ &- 2(1-|x|^2)P_{\alpha'}(x)x_k+2x_kP_{\alpha'}(x) \Big)\\ &=\exp\left(\frac 1{|x|^2-1}\right)\frac 1{(1-|x|^2)^{2|\alpha|}}\left(\partial_{e_k}P_{\alpha'}(x)(1-|x|^2)^2+2|x|^2x_kP_{\alpha'}(x)\right). \end{align*} por lo que conseguimos la inducción fórmula $|x|<1$ $ y $$P_{\alpha'+e_k}(x)=\partial_{e_k}P_{\alpha'}(x)(1-|x|^2)^2+2|x|^2x_kP_{\alpha'}(x),$ si $\partial_{\alpha}f(x)=0$.