Núcleo definido positivo entendimiento

Question

A partir del Teorema de Mercer:

Un kernel es simétrica función continua $ K: [a,b] \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, de modo que $K(x, s) = K(s, x)$.

$K$ se dice que el ser no negativa definida (o positivo semidefinite)si y sólo si $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n K(x_i, x_j) c_i c_j \geq 0$$ para todas las secuencias finitas de los puntos de $x_1, ..., x_n$ $[a, b]$ y todos los opciones de números reales $c_1, ..., c_n$.

De Positivo-definida kernel:

Deje $\{ H_n \}_{n \in {\mathbb Z}}$ ser una secuencia de (complejo) de Hilbert espacios y $\mathcal{L}(H_i, H_j)$ ser el delimitada operadores de $H_i$ a $H_j$.

Un mapa de $A$ ${\mathbb Z} \times {\mathbb Z}$ donde $A(i,j)\in\mathcal{L}(H_i, H_j)$ se llama una positiva definida kernel si para todas las $m > 0$$h_i \in H_i$, el siguiente positividad la condición se tiene: $$\sum_{-m \leq i\quad\, \en la cima de j \leq m} \langle A(i,j) h_i, h_j \rangle \geq 0. $$

1. Me pregunto si las dos definiciones de positivo-definida de acuerdo kernel el uno con el otro y cómo?
2. Es positivo-definida núcleo relacionado con un positivo-definida bilineal forma en un espacio vectorial?
3. ¿Cuál es la definición de núcleo en su caso más general, es decir, para el espacio de Hilbert caso?

Las referencias son también apreciados. Gracias y saludos!

Answer 1

Esas definiciones están muy estrechamente relacionadas, en la que se pueden poner en el mismo marco general.

Deje $X$ ser un conjunto, vamos a $(H_x)_{x\in X}$ ser una familia de espacios de Hilbert indexados por $X$, y para cada una de las $(x,y)\in X\times X$, vamos a $K(x,y)$ ser un elemento de $\mathcal{L}(H_x,H_y)$. A continuación, $K$ se llama positivo (semidefinite) kernel si para todas las secuencias finitas $x_1,\ldots x_n$$X$$h_1,\ldots,h_n$$h_i\in H_{x_i}$,

$$\sum_{i,j=1}^n\langle K(x_i,x_j)h_i,h_j\rangle\geq 0.$$ This is equivalent to requiring that the matrix $(K(x_j,x_i))_{ij}$ represents a positive operator on the Hilbert space $H_{x_1}\oplus\cdots\oplus H_{x_n}$. (Hay una distracción transposición de allí, pero estoy tratando de hacer esto en consonancia con la definición que dio.)

Usted consigue su segundo ejemplo mediante la toma de $X=\mathbb Z$. Usted consigue su primer ejemplo mediante la toma de $X=[a,b]$ $H_x=\mathbb R$ (como un verdadero espacio de Hilbert) para todos los $x$.

Es común (por ejemplo, en el contexto mencionado a continuación) de que hay un solo espacio de Hilbert $H$ tal que $H_x=H$ todos los $x\in X$. En ese caso, $K:X\times X\to \mathcal{L}(H)$, es positivo el kernel si para cada secuencia finita $x_1,\ldots,x_n$$X$, la matriz $(K(x_j,x_i))_{ij}$ representa un positivo operador en el espacio de Hilbert $H^{(n)}$.

Hasta ahora espero tener un poco respondieron a las preguntas 1 y 3. Ahora voy a hablar de un contexto en el que tales funciones surgir, que conduce a una respuesta parcial a la pregunta 2.

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Un lugar donde positivos funciones de núcleo surgir en el estudio de la reproducción del núcleo de Hilbert espacios. Si $X$ es un conjunto, $H$ es un espacio de Hilbert, y $E$ es un espacio de Hilbert cuyos elementos son de $H$funciones con valores en $X$, $E$ se llama un vector de valores) la reproducción de kernel espacio de Hilbert si para cada una de las $x\in X$, la evaluación en $x$ es un delimitada lineal operador de $E$ $H$.

Supongamos que $E$ satisface esta definición, y para cada una de las $x\in X$, vamos a $\mathrm{ev}_x\in\mathcal{L}(E,H)$ evaluación en $x$, $\mathrm{ev}_x(f)=f(x)$. Deje $K:X\times X\to \mathcal{L}(H)$ ser definido por $K(x,y)=\mathrm{ev}_x\mathrm{ev}_y^*$. A continuación, $K$ es positivo kernel $X$, llama la reproducción de kernel para $E$. La razón para el nombre de "reproducción de un núcleo" es que las evaluaciones de los elementos de $E$ se puede "reproducir" de $K$ y el producto interior en $E$. Para cada una de las $x\in X$$h\in H$, la función de $k_{x,h}:X\to H$ definido por $k_{x,h}(y)=K(y,x)h$$E$. Si $f$$E$,$\langle f(x),h\rangle=\langle f,k_{x,h}\rangle$. (De hecho, tenga en cuenta que $k_{x,h}=\mathrm{ev}_x^*h$.) Esta propiedad única se caracteriza $K$.

Por el contrario, si $X$ es un conjunto, $H$ es un espacio de Hilbert, y $K:X\times X\to \mathcal{L}(H)$, es positivo el núcleo de la función, entonces no hay una única reproducción de kernel espacio de Hilbert $E_K$ $H$funciones con valores en $X$ tal que para todo $f\in E$, $x\in X$, y $h\in H$, $k_{x,h}$ como se definió anteriormente es en $E_K$, e $\langle f(x),h\rangle=\langle f,k_{x,h}\rangle$. En otras palabras, $K$ es el (único) de la reproducción de kernel para un (único) reproducir kernel espacio de Hilbert. Para la construcción de $E_K$, un resultado positivo de bilineal (o sesquilinear) la forma, es decir, un producto interior, se define un vector libre del espacio cuyo formal generadores de "viento" siendo las funciones de $k_{x,h}$ después de la finalización. La positividad de $K$ es precisamente lo que se necesita para hacer que el producto interior de trabajo, así que esto podría ser una respuesta parcial a la pregunta 2. (Estoy dejando esta parte vaga por ahora, pero si usted está interesado me puede elaborar o proporcionar una referencia.)

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Hay otras generalizaciones que han aparecido en el operador de la teoría y las álgebras de operadores de la literatura, y sin duda hay más tipos y aplicaciones de positivas las funciones de núcleo de lo que soy consciente de, digamos que aquí se mencionan. Me pueden agregar más referencias en algún momento (desde luego, si usted lo pide), pero por ahora voy a señalar un par que he encontrado particularmente útil:

• Aronszajn de papel de la "Teoría de la reproducción de los núcleos" contiene el primer estudio sistemático de (escalares) positiva del núcleo de las funciones de reproducción y el kernel de espacios de Hilbert.
• Agler y McCarthy libro de Recogida de interpolación y de Hilbert espacios de funciones cubre una serie de temas relacionados con la positiva del núcleo de las funciones de reproducción y núcleo de Hilbert espacios, particularmente complejas de la analítica de la interpolación de los problemas y el operador de la teoría.

Usted también puede estar interesado en un par de preguntas anteriores, aquí y aquí, que se acerca de los valores escalares de reproducción del núcleo de Hilbert espacios (y, por tanto, al menos implícitamente, que intervienen positiva con valores escalares kernels).