Se conoce una forma más general: $$\tag{1}f(c)=\sum_{n,m}'\frac 1{(n^2+m^2)^c}=4\,\zeta(c)\,L_{-4}(c)$$ con $\ L_{\sigma}(c):=\sum_{n\ge 1} \,\left(\frac {\sigma}n\right)\,n^{-c}\quad$ (donde $\ \displaystyle\left(\frac {\sigma}n\right)$ es el Símbolo de Kronecker y la suma es sobre todos los enteros con signo $n,m$ excluyendo $n=m=0$ como se indica en ' )
Para $\;\sigma=-4\ $ sólo quedan los términos Impares con signos alternos : $$\tag{2}L_{-4}(c)=\sum_{n\ge 1} \,\left(\frac {-4}n\right)\,n^{-c}=\sum_{n\ge 1} \frac {(-1)^{n-1}}{(2n-1)^c}=\beta(c)$$ con $\beta$ el Función beta de Dirichlet de manera que (distinguiendo los valores $n=0$ y $m=0$ ) : $$4\,\zeta(c)\,\beta(c)=\sum_{n,m}'\frac 1{(n^2+m^2)^c}=2\sum_{m\ge 1}\frac 1{(0^2+m^2)^c}+2\sum_{n\ge 1}\frac 1{(n^2+0^2)^c}+4\sum_{n,m\ge 1}\frac 1{(n^2+m^2)^c}$$ y (dividiendo por $4$ ) una generalización de su bonito resultado : $$\tag{3}\sum_{n,m\ge 1}\frac 1{(n^2+m^2)^c}=\,\zeta(c)\,\beta(c)-\zeta(2c)$$
La derivación (no trivial) de una nueva generalización de $(1)$ se proporciona en "Experimentation in Mathematics" de Borwein, Bailey y Girgensohn (página $167-169$ de mi $2004$ edición).
Definen :
$$\tag{4}\zeta(a,b,c) = \sum_{n,m}' \frac{n^{2a}\,m^{2b}}{(n^2+m^2)^c}$$
( $a,\;b,\;c\;$ son enteros no negativos)
(la suma era para $n,m\ge 0$ pero creo que " $\ge 0$ " es un error tipográfico que no aparece en la página $169$ )
La página $168$ del libro contiene (espero que la retranscripción de una página no sea un problema, se pueden ver extractos del libro en Amazon ) :
"La siguiente identidad expresa $\zeta(a,0,c)$ utilizando una expansión de la función de Bessel de la transformada de Mellin normalizada $$M_c(f) = \frac 1{\Gamma(c)} \int_0^\infty f(t)\,t^{c-1}\,dt$$ de la función $$t \to \sum_{n,m} n^{2a}q^{n^2+m^2} =\sum_n n^{2a}q^{n^2} \theta_3(q)$$ con $q=e^{-t}$ después de utilizar la transformada theta $(2.15)$ $$\theta_3\bigl(e^{\pi t}\bigr)= \sqrt{\frac{\pi}t}\,\theta_3\left(e^{\frac{\pi}t}\right)$$ Esto lleva a la identidad $$\tag{5}\zeta(a,0,c)= 2\delta_{0a}\zeta(2c)+ 2\beta\left(c-\frac12,\frac12\right) \zeta(2c-2a-1)+4\sum_{p\ge 1} \sigma_{[2a+1-2c]}(p)\,{\cal E}_c(p)$$ Esto es válido para los $ac$ con $d=c-a>1$ y presumiblemente proporciona una continuación analítica de $\zeta(a,0,c)$ para la suma sobre enteros positivos. Aquí $\sigma$ es una función divisora $$\sigma_{[d]}(p) =\sum_{n|p} n^d,$$ y $${\cal E}_c(p)= \frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(c)} 2(\pi p)^{c-1/2}K_{\bigl(c-\frac 12\bigr)}(2\pi p)$$ se deriva de la función de Bessel modificada de medio orden entero, $K_{\bigl(c-\frac 12\bigr)}$ de la segunda clase.
Cuando $c=N$ es un número entero, ${\cal E}_N(p)$ es de la forma $$\pi\,e^{-2\pi p} P_N(\pi p)$$ donde $P_N$ es un polinomio racional de grado $N-1$ con coeficientes positivos : $P_1(x)=1,\ P_2(x)=x+1/2,\ P_3(x)=x^2/2+3/4x+3/8,\ P_4(x)=1/6x^3+1/2x^2+5/8x+5/16$ .
En general $$P_N(x)=\sum _{k=0}^{N-1}\frac{{{N+k-1}\choose{N-1}}x^{N-1-k}}{(N-k-1)!4^k}$$ Esto permite calcular de forma muy eficiente $\zeta(a,0,c)$ a través de $(5)$ , utilizando más o menos $D/4$ términos para $D$ dígitos. También hay que tener en cuenta que para las $c$ y variable $a$ sólo los poderes en $\sigma_{[2a+1-2c]}$ varían para que la mayor parte del cálculo pueda ahorrarse.
Entonces el caso general de los enteros se deduce de $$\tag{6}\zeta(a,b,c)=\sum_{k=0}^e (-1)^{e-k}{{e}\choose{k}}\zeta(a+b-k,0,c-k)$$ donde $\ e=\min(a,b)$ ."
La fórmula al principio era $\zeta(0,0,c)$ y usted pidió simplemente $\zeta(0,0,2)$ . ¡Creo que hay una respuesta mucho más sencilla para la segunda (para que el problema se mantenga...) pero las generalizaciones también tienen valor!
Añadamos algunas palabras clave y referencias que acabo de encontrar (MathWorld y otras) :
Espero que esto también haya ayudado,
