El máximo valor propio de la suma de dos matriz

Question

Supongamos que hay dos matriz $A$ y $B$. Los componentes de cada matriz es no negativo.

Y $$Ax_1=\lambda_1 x_1 $$ where $ \lambda_1$ is the maximum eigenvalue of $A$.

Del mismo modo

$$Bx_2=\lambda_2 x_2 $$ where $ \lambda_2$ is the maximum eigenvalue of $B$.

Que $C = A+B$

Y $$Cx=\lambda x $$ where $ \lambda$ is the maximum eigenvalue of $C$.

De wiki (https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm), muestra que el $$\left\| A+B \right\|\le \left\| A \right\|+\left\| B \right\|$ $ el máximo valor propio es norma 2. Así que no importa los componentes son negativos o no, $$\lambda\le \lambda_1+\lambda_2$ $

Answer 1

Sí. Por la fórmula de Gelfand, si $\|\cdot\|$ es cualquier norma de matriz, entonces $\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\|A^n\|^{1/n}$. Ahora, simplemente tomar $\|\cdot\|$ como norma máxima fila suma, es decir, $\|A\|=\max\limits_i\sum_j|a_{ij}|$. Desde ambas $A$ y $B$ son no negativos, tenemos $0\le A^n\le(A+B)^n$ entrywise. Por lo tanto, el resultado sigue.